Что значит радиус окружности. Вычисление радиуса: как найти длину окружности зная диаметр

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.

Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Радиус круга – это расстояние от центра круга до любой точки, которая лежит на внешней окружности круга. Простейший способ найти радиус – разделить диаметр пополам. Если диаметр не известен, но даны значения других величин, таких как длина окружности (C = 2 π (r)

1 По длине окружности

1 Запишите формулу для вычисления длины окружности. Формула: C = 2 π (r)
- Число π 2 Для этого разделите обе части формулы на 2 π 3 В формулу подставьте значение длины окружности. Оно должно быть дано в задаче. Значение длины окружности подставляется вместо переменной C 4 Округлите результат. Рассчитайте величину радиуса, используя клавишу π ответ. Если у вас нет калькулятора или на нем нет такой клавиши, рассчитайте вручную, приняв π
  2 По площади круга
  1. 1 Запишите формулу для вычисления площади круга. Формула: A = π (r 2)
  2. 2 В формуле изолируйте радиус.
    - Сначала разделите обе части формулы на π 3 В формулу подставьте значение площади. Оно должно быть дано в задаче. Значение площади подставляется вместо переменной S 4 Разделите площадь на π 5 Извлеките квадратный корень. Для этого понадобится калькулятор, потому что в результате получится десятичная дробь. Так вы вычислите радиус круга.
      Например, r = 6 , 69 = 2 , 59
      3 По диаметру
      
      1 Найдите диаметр круга. Как правило, диаметр дан в задаче; в противном случае просто измерьте его. Диаметр – это отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности, и проходит через центр окружности (круга). Диаметр делит круг на две равные части.
      Например, дан круг диаметром 4 см.
      
      2 Разделите диаметр на 2. Радиус круга равен половине его диаметра.
      Например, если диаметр равен 4 см, то: r = 4 2 = 2
      4 По площади сектора и центральному углу
      
      1 Запишите формулу для вычисления площади сектора. Формула: A = θ 360 (π) (r 2)
      
      2 В формулу подставьте значения площади сектора и центрального угла. Эти значения должны быть даны в задаче. Убедитесь, что известна площадь сектора, а не площадь круга. Значение площади сектора подставляется вместо переменной A 3 Разделите центральный угол на 360. Так вы определите, какую часть круга занимает сектор.
      Например, 120 360 = 0 , 3333 4 Изолируйте (π) (r 2) 5 Разделите обе части формулы на π 6 Извлеките квадратный корень из обеих частей формулы. Так вы найдете радиус круга.
      Например:
      47 , 7465 = r 2 {displaystyle 47,7465=r^{2}}
      47 , 7465 = r 2 {displaystyle {sqrt {47,7465}}={sqrt {r^{2}}}}
      6 , 91 = r {displaystyle 6,91=r}
      Таким образом, радиус круга приблизительно равен 6,91 см.

Радиус - это отрезок, который соединяет любую точку на окружности с ее центром. Это одна из самых важных характеристик данной фигуры, поскольку на ее основе можно вычислить все другие параметры. Если знать, как найти радиус окружности, то можно рассчитать ее диаметр, длину, а также площадь. В том случае, когда данная фигура вписана или описана вокруг другой, то можно решить еще целый ряд задач. Сегодня мы разберем основные формулы и особенности их применения.

Известные величины

Если знать, как найти радиус окружности, который обычно обозначают буквой R, то его можно вычислить по одной характеристике. К таким величинам относят:

длину окружности (C);
диаметр (D) - отрезок (вернее, хорда), который проходит через центральную точку;
площадь (S) - пространство, которое ограничено данной фигурой.

По длине окружности

Если в задаче известна величина C, то R = С / (2 * П). Эта формула является производной. Если мы знаем, что из себя представляет длина окружности, то ее уже не нужно запоминать. Предположим, что в задаче C = 20 м. Как найти радиус окружности в этом случае? Просто подставляем известную величину в вышеприведенную формулу. Отметим, что в таких задачах всегда подразумевается знание числа П. Для удобства расчетов примем его значение за 3,14. Решение в этом случае выглядит следующим образом: записываем, какие величины даны, выводим формулу и проводим вычисления. В ответе пишем, что радиус равен 20 / (2 * 3,14) = 3,19 м. Важно не забыть о том, что мы считали, и упомянуть название единиц измерения.

По диаметру

Сразу подчеркнем, что это самый простой вид задач, в которых спрашивается о том, как найти радиус окружности. Если такой пример попался вам на контрольной, то можете быть спокойны. Тут даже не нужен калькулятор! Как мы уже говорили, диаметр - это отрезок или, правильнее сказать, хорда, которая проходит через центр. При этом все точки окружности равноудалены. Поэтому данная хорда состоит из двух половинок. Каждая из них является радиусом, что следует из его определения как отрезка, который соединяет точку на окружности и ее центр. Если в задаче известен диаметр, то для нахождения радиуса нужно просто разделить эту величину на два. Формула выглядит следующим образом: R = D / 2. Например, если диаметр в задаче равен 10 м, то радиус - 5 метров.

По площади круга

Этот тип задач обычно называют самым сложным. Это связано в первую очередь с незнанием формулы. Если знать, как найти радиус окружности в этом случае, то остальное - дело техники. В калькуляторе только нужно заранее найти значок вычисления квадратного корня. Площадь круга - это произведение числа П и радиуса, умноженного на самого себя. Формула выглядит следующим образом: S = П * R 2 . Обособив радиус на одной из сторон уравнения, можно с легкость решить задачу. Он будет равен квадратному корню из частного от деления площади на число П. Если S = 10 м, то R = 1,78 метров. Как и в предыдущих задачах, важно не забыть об используемых единицах измерения.

Как найти радиус описанной окружности

Предположим, что a, b, c - это стороны треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус описанной вокруг него окружности. Для этого сначала нужно найти полупериметр треугольника. Чтобы было легче для восприятия, обозначим его маленькой буквой p. Он будет равен половине суммы сторон. Его формула: p = (a + b + c) / 2.

Также вычислим произведение длин сторон. Для удобства обозначим его буквой S. Формула радиуса описанной окружности будет выглядеть так: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Рассмотрим пример задачи. У нас есть окружность, описанная вокруг треугольника. Длины ее сторон составляют 5, 6 и 7 см. Сначала вычисляем полупериметр. В нашей задаче он будет равен 9 сантиметрам. Теперь вычислим произведение длин сторон - 210. Подставляем результаты промежуточных расчетов в формулу и узнаем результат. Радиус описанной окружности равен 3,57 сантиметра. Записываем ответ, не забывая о единицах измерения.

Как найти радиус вписанной окружности

Предположим, что a, b, c - длины сторон треугольника. Если знать их величины, то можно найти радиус вписанной в него окружности. Сначала нужно найти его полупериметр. Для облегчения понимания обозначим его маленькой буквой p. Формула его вычисления выглядит следующим образом: p = (a + b + c) / 2. Этот тип задачи несколько проще, чем предыдущий, поэтому больше не нужно никаких промежуточных расчетов.

Радиус вписанной окружности вычисляется по следующей формуле: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Рассмотрим это на конкретном примере. Предположим, в задаче описан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. В него вписана окружность, радиус которой и нужно найти. Сначала находим полупериметр. В нашей задаче он будет равен 11 см. Теперь подставляем его в основную формулу. Радиус окажется равным 1,65 сантиметрам. Записываем ответ и не забываем о правильных единицах измерения.

Окружность и ее свойства

У каждой геометрической фигуры есть свои особенности. Именно от их понимания зависит правильность решения задач. Есть они и у окружности. Зачастую их используют при решении примеров с описанными или вписанными фигурами, поскольку они дают ясное представление о такой ситуации. Среди них:

Прямая может иметь ноль, одну или две точки пересечения с окружностью. В первом случае она с ней не пересекается, во втором является касательной, в третьем - секущей.
Если взять три точки, что не лежат на одной прямой, то через них можно привести только одну окружность.
Прямая может быть касательной сразу двух фигур. В этом случае она будет проходить через точку, которая лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Его длина равна сумме радиусов данных фигур.
Через одну или две точки можно провести бесконечное количество окружностей.

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Если заполнить пространство внутри окружности, например начертить окружность с помощью циркуля на бумаге или картоне и вырезать, то получим круг (рис. 10).

Рис. 10. Круг

Круг - это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Условие: Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности (рис. 11) 11 диаметров. А когда пересчитал радиусы, получил 21. Правильно ли он сосчитал?

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение: радиусов должно быть в два раза больше, чем диаметров, поэтому:

Витя сосчитал неправильно.

Список литературы

Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012. - 112 с.: ил. - (Школа России).
Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. - М.: Ювента.

Mypresentation.ru ().
Sernam.ru ().
School-assistant.ru ().

Домашнее задание

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.

2. Разгадайте загадку.

Мы живём с братишкой дружно,

Нам так весело вдвоём,

Мы на лист поставим кружку (рис. 12),

Обведём карандашом.

Получилось то, что нужно -

Называется …

3. Необходимо определить диаметр окружности, если известно, что радиус равен 5 м.

4. * С помощью циркуля начертите две окружности с радиусами: а) 2 см и 5 см; б) 10 мм и 15 мм.

Класса учащиеся общеобразовательных школ в курсе изучают круг и окружность как геометрическую фигуру, и все, что с этой фигурой связано. Ребята знакомятся с такими понятиями, как радиус и диаметр, длина окружности или периметр , площадь круга. Именно на этой теме они узнают про загадочное число Пи – это лудольфово число, как оно называлось раньше. Число Пи иррационально, так как его представление в виде десятичной дроби бесконечно. На практике используется его усеченный вариант из трех цифр: 3.14. Эта константа выражает отношение длины любой окружности к ее диаметру.
Шестиклассники решают задачи, выводя по одной данности и числа «Пи» остальные характеристики окружности и круга. В тетрадях и на классной доске они в масштабе вычерчивают абстрактные сферы и производят мало что говорящие вычисления.

А на практике

На практике такая задача может возникнуть в ситуации, когда, например, возникает необходимость проложить трассу определенной протяженности для проведения каких-либо состязаний со стартом и финишем в одном месте. Высчитав радиус, вы сможете на плане выбрать прохождение этой трассы, с циркулем в руке рассматривая варианты с учетом географических особенностей региона. Перемещая ножку циркуля – равноудаленного центра от будущей трассы, можно уже на этом этапе предусмотреть, где на участках будут подъемы, где спуски, учитывая естественные перепады рельефа. Также сразу можно определиться и с участками, где лучше разместить трибуны для болельщиков.

Радиус из окружности

Итак, предположим, что вам для проведения соревнований по автокроссу необходима круговая трасса длиной 10 000 м. Вот нужная формула для определения радиуса (R) окружности при известной её длине (C):
R=C/2п (п – число, равное 3.14).
Подставив имеющиеся значения, вы легко получаете результат:
R = 10 000:3.14 = 3 184. 71 (м) или 3 км 184 м и 71 см.

От радиуса к площади

Зная радиус окружности, легко можно определить площадь, которая будет изъята из ландшафта. Формула площади круга (S): S=пR2
При R = 3 184. 71 м она составит: S = 3.14 х 3 184. 71 х 3 184. 71 = 31 847 063 (кв. м) или почти 32 квадратных километров.

Подобные вычисления могут быть полезными при огораживании. Например, у вас имеется материал на ограду на столько-то . Взяв эту величину за периметр круга, вы легко определите его диаметр (радиус) и площадь, а, следовательно, зримо представите величину будущего огороженного участка.