Конические поверхности второго порядка. Конические поверхности. Что нужно уметь на данный момент

Конической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми - образующими конуса, - проходящими через данную точку - вершину конуса - и пересекающими данную линию - направляющую конуса. Пусть направляющая конуса имеет уравнения

а вершина конуса имеет координаты Канонические уравнения образующих конуса как прямых, проходящих через точку ) и через точку направляющей, будут;

Исключая х, у и z из четырех уравнений (3) и (4), получим искомое уравнение конической поверхности. Это уравнение обладает весьма простым свойством: оно однородно (т. е. все его члены одного измерения) относительно разностей . В самом деле, допустим сперва, что вершина конуса находится в начале координат . Пусть X, У и Z - координаты любой точки конуса; они удовлетворяют, следовательно, уравнению конуса. После замены в уравнении конуса X, У и Z соответственно через XX, ХУ, XZ, где X - произвольный множитель, уравнение должно удовлетворяться, так как XX, ХУ и XZ суть координаты точки прямой, проходящей через начало координат в точку , т. е. образующей конуса. Следовательно, уравнение конуса не изменится, если все текущие координаты умножим на одно и то число X. Отсюда следует, что это уравнение должно быть однородным относительно текущих координат.

В случае, если вершина конуса лежит в точке мы перенесем начало координат в вершину, и по доказанному преобразованное уравнение конуса будет однородно относительно ноных координат, т. е. относительно

Пример. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат и направляющей

Канонические уравнения образующих, проходящих через вершину (0, 0, С) конуса и точку направляющей, будут:

Исключим х, у и из четырех данных уравнений. Заменяя через с, определим и у из последних двух уравнений.

Содержание статьи

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

РАННЯЯ ИСТОРИЯ

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на рис. 1), поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (рис. 1,а ) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола (рис. 1,б ) – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола (рис. 1,в ) – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большей и малой осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола.

При построении гиперболы точка P , острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рис. 3,а . Расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q ) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы (P ў V 2 Q ў ) мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки F 1 и F 2 .

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рис. 3,б . Угловые коэффициенты этих прямых равны ± (v 1 v 2)/(V 1 V 2), где v 1 v 2 – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 1 F 2 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O . Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O .

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола.

Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.). Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LL ў (рис. 4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC . Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F . Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LL ў , так как общая длина нити равна AB , отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB , т.е. PA . Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V , – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа.

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F , и D F и D L – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P , для которых отношение D F /D L является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e e > 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L , то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

Конструкция Данделена.

Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794–1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O . Впишем в этот конус две сферы S 1 и S 2 , которые касаются плоскости p в точках F 1 и F 2 соответственно. Если коническое сечение – эллипс (рис. 5,а ), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p , а другая – под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C 1 и C 2 , расположенных в параллельных плоскостях p 1 и p 2 . Пусть P – произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF 1 , PF 2 и продлим прямую PO . Эти прямые – касательные к сферам в точках F 1 , F 2 и R 1 , R 2 . Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF 1 = PR 1 и PF 2 = PR 2 . Следовательно, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 . Так как плоскости p 1 и p 2 параллельны, отрезок R 1 R 2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR 1 + PR 2 одна и та же для всех положений точки P , и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F 1 и F 2 постоянна. Следовательно, точки F 1 и F 2 – фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p 1 и p 2 , – директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б ), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p , по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF 1 и PF 2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F 1 и F 2 и прямыми – линиями пересечения p с p 1 и p 2 – в качестве директрис. Если коническое сечение – парабола, как показано на рис. 5,в , то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.

Другие свойства.

Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1 , L 2 , L 3 и L 4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4 , то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация.

В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

где не все коэффициенты A , B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 № AC , второе – при B 2 = AC . Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

2831) Если коэффициенты a , b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b ).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс (рис. 1,а ); при a = b – окружность (рис. 6,б ).

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола (рис. 1,в ).

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (рис. 6,а ).

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b , стянутой в точку окружности (рис. 6,б ).

6) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a , либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x , y , z ) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже ) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z 2 = x 2 + y 2 . Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V . Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F , основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC , где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB . Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q . Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P . Получившаяся кривая будет параболой.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

y 2 = RQ Ч QS .

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE ), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS /EB = QF /FE ). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE ; но соотношение y 2 = RQ Ч QS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a ) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b ) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x , задаваемые соотношением x 2 = a 2 , определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y , задаваемые соотношением y 2 = –b 2 , определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k .

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y 2 b 2 /a ) x , для параболы y 2 = (a ) x и для гиперболы y 2 > (2b 2 /a ) x . В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б ); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а ); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X 2 + Y 2 = a 2 с помощью подстановки X = x , Y = (a /b ) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x , Y = (ai /b ) y , где i 2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x 2 + y 2 = a 2 и эллипса (x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = p ab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b ) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.

ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД

Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V . Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP , проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.

Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке P , находится в бесконечности или бесконечно удалена.

Как мы видели, при подходящем выборе точек схода окружность может проецироваться в эллипсы различных размеров и с различными эксцентриситетами, а длины больших осей не имеют прямого отношения к диаметру проецируемой окружности. Поэтому проективная геометрия не имеет дела с расстояниями или длинами самими по себе, ее задача – изучение отношения длин, которое сохраняется при проецировании. Это отношение можно найти с помощью следующего построения. Через любую точку P плоскости проведем две касательные к любой окружности и соединим точки касания прямой p . Пусть другая прямая, проходящая через точку P , пересекает окружность в точках C 1 и C 2 , а прямую p – в точке Q (рис. 9). В планиметрии доказывается, что PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2 . (Знак минус возникает из-за того, что направление отрезка QC 1 противоположно направлениям других отрезков.) Иначе говоря, точки P и Q делят отрезок C 1 C 2 внешним и внутренним образом в одном и том же отношении; говорят также, что гармоническое отношение четырех отрезков равно - 1. Если окружность спроецировать в коническое сечение и сохранить за соответствующими точками те же обозначения, то гармоническое отношение (PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) останется равным - 1. Точка P называется полюсом прямой p относительно конического сечения, а прямая p – полярой точки P относительно конического сечения.

Когда точка P приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной; если точка P лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке P . Если точка P расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку P любую прямую, пересекающую коническое сечение в двух точках; проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения; предположим, что эти касательные пересекаются в точке P 1 . Проведем через точку P еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках; допустим, что касательные к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке P 2 (рис. 10). Прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 , и есть искомая поляра p . Если точка P приближается к центру O центрального конического сечения, то поляра p удаляется от O . Когда точка P совпадает с O , то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на плоскости.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная прямая, проходящая через точку O (рис. 11,а ), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами b и a , где b a. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R – вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения P P при вращении прямой OQR вокруг точки O будет эллипс. Угол f между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а построенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями x = a cos f , y = b sin f . Исключая из них параметр f , получим уравнение (3а).

Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку O , пересекает одну из двух окружностей в точке R (рис. 11,б ). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке T и OR – в точке Q . Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку T , и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q , пересекаются в точке P . Тогда геометрическим местом точек P при вращении отрезка OR вокруг O будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями x = a sec f , y = b tg f , где f – эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А.Лежандром (1752–1833). Исключив параметр f , мы получим уравнение (4a).

Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473–1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P , не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса – диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф. ван Схотен (1615–1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.

Б.Паскаль (1623–1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.

С поверхностями 2-го порядка студент чаще всего встречается на первом курсе. Сначала задачи на эту тему могут казаться простыми, но, по мере изучения высшей математики и углубления в научную сторону, можно окончательно перестать ориентироваться в происходящем. Для того чтобы такого не произошло, надо не просто заучить, а понять, как получается та или иная поверхность, как изменение коэффициентов влияет на нее и ее расположение относительно изначальной системы координат и как найти новую систему (такую, в которой ее центр совпадает с началом координат, а параллельна одной из координатных осей). Начнем с самого начала.

Определение

Поверхностью 2 порядка называется ГМТ, координаты которого удовлетворяют общему уравнению следующего вида:

Ясно, что каждая точка, принадлежащая поверхности, должна иметь три координаты в каком-либо обозначенном базисе. Хотя в некоторых случаях геометрическое место точек может вырождаться, например, в плоскость. Это лишь значит, что одна из координат постоянна и равна нулю во всей области допустимых значений.

Полная расписанная форма упомянутого выше равенства выглядит так:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm - некоторые константы, x, y, z - переменные, отвечающие аффинным координатам какой-либо точки. При этом хотя бы один из множителей-констант должен быть не равен нулю, то есть не любая точка будет отвечать уравнению.

В подавляющем большинстве примеров многие числовые множители все же тождественно равняются нулю, и уравнение значительно упрощается. На практике определение принадлежности точки к поверхности не затруднено (достаточно подставить ее координаты в уравнение и проверить, соблюдается ли тождество). Ключевым моментом в такой работе является приведение последней к каноническому виду.

Написанное выше уравнение задает любые (все указанные далее) поверхности 2 порядка. Примеры рассмотрим далее.

Виды поверхностей 2 порядка

Уравнения поверхностей 2 порядка различаются только значениями коэффициентов A nm . Из общего вида при определенных значениях констант могут получиться различные поверхности, классифицируемые следующим образом:

1. Цилиндры.
2. Эллиптический тип.
3. Гиперболический тип.
4. Конический тип.
5. Параболический тип.
6. Плоскости.

У каждого из перечисленных видов есть естественная и мнимая форма: в мнимой форме геометрическое место вещественных точек либо вырождается в более простую фигуру, либо отсутствует вовсе.

Цилиндры

Это самый простой тип, так как относительно сложная кривая лежит только в основании, выступая в качестве направляющей. Образующими являются прямые, перпендикулярные плоскости, в которой лежит основание.

На графике показан круговой цилиндр - частный случай эллиптического цилиндра. В плоскости XY его проекция будет эллипсом (в нашем случае - кругом) - направляющей, а в XZ - прямоугольником - так как образующие параллельны оси Z. Чтобы получить его из общего уравнения, необходимо придать коэффициентам следующие значения:

Вместо привычных обозначений икс, игрек, зет использованы иксы с порядковым номером - это не имеет никакого значения.

По сути, 1/a 2 и другие указанные здесь постоянные являются теми самыми коэффициентами, указанными в общем уравнении, но принято записывать их именно в таком виде - это и есть каноническое представление. Далее будет использоваться исключительно такая запись.

Так задается гиперболический цилиндр. Схема та же - направляющей будет гипербола.

Параболический цилиндр задается несколько иначе: его канонический вид включает в себя коэффициент p, называемый параметром. На самом деле, коэффициент равен q=2p, но принято разделять его на представленные два множителя.

Есть еще один вид цилиндров: мнимые. Такому цилиндру не принадлежит ни одна вещественная точка. Его описывает уравнение эллиптического цилиндра, но вместо единицы стоит -1.

Эллиптический тип

Эллипсоид может быть растянут вдоль одной из осей (вдоль которой именно зависит от значений постоянных a, b, c, указанных выше; очевидно, что большей оси будет соответствовать больший коэффициент).

Также существует и мнимый эллипсоид - при условии, что сумма координат, помноженная на коэффициенты, равна -1:

Гиперболоиды

При появлении минуса в одной из констант уравнение эллипсоида превращается в уравнение однополостного гиперболоида. Надо понимать, что этот минус не обязательно должен располагаться перед координатой x 3 ! Он лишь определяет, какая из осей будет осью вращения гиперболоида (или параллельна ей, так как при появлении дополнительных слагаемых в квадрате (например, (x-2) 2) смещается центр фигуры, как следствие, поверхность перемещается параллельно осям координат). Это относится ко всем поверхностям 2 порядка.

Кроме этого, надо понимать, что уравнения представлены в каноническом виде и они могут быть изменены с помощью варьирования констант (с сохранением знака!); при этом их вид (гиперболоид, конус и так далее) останется тем же.

Такое уравнение задает уже двуполостный гиперболоид.

Коническая поверхность

В уравнении конуса единица отсутствует - равенство нулю.

Конусом называется только ограниченная коническая поверхность. На картинке ниже видно, что, по сути, на графике окажется два так называемых конуса.

Важное замечание: во всех рассматриваемых канонических уравнениях константы по умолчанию принимаются положительными. В ином случае знак может повлиять на итоговый график.

Координатные плоскости становятся плоскостями симметрии конуса, центр симметрии располагается в начале координат.

В уравнении мнимого конуса стоят только плюсы; ему принадлежит одна единственная вещественная точка.

Параболоиды

Поверхности 2 порядка в пространстве могут принимать различные формы даже при схожих уравнениях. К примеру, параболоиды бывают двух видов.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Эллиптический параболоид, при расположении оси Z перпендикулярно чертежу, будет проецироваться в эллипс.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Гиперболический параболоид: в сечениях плоскостями, параллельными ZY, будут получаться параболы, а в сечениях плоскостями, параллельными XY - гиперболы.

Пересекающиеся плоскости

Есть случаи, когда поверхности 2-ого порядка вырождаются в плоскости. Эти плоскости могут располагаться различными способами.

Сначала рассмотрим пересекающиеся плоскости:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

При такой модификации канонического уравнения получаются просто две пересекающиеся плоскости (мнимые!); все вещественные точки находятся на оси той координаты, которая отсутствует в уравнении (в каноническом - оси Z).

Параллельные плоскости

При наличии только одной координаты поверхности 2-го порядка вырождаются в пару параллельных плоскостей. Не забывайте, на месте игрека может стоять любая другая переменная; тогда будут получаться плоскости, параллельные другим осям.

В этом случае они становятся мнимыми.

Совпадающие плоскости

При таком простом уравнении пара плоскостей вырождается в одну - они совпадают.

Не забывайте, что в случае трехмерного базиса представленное выше уравнение не задает прямую y=0! В нем отсутствуют две другие переменные, но это всего лишь значит, что их значение постоянно и равно нулю.

Построение

Одной из самых сложных задач для студента является именно построение поверхностей 2 порядка. Еще более затруднительно переходить от одной системы координат к другой, учитывая углы наклона кривой относительно осей и смещение центра. Давайте повторим, как последовательно определить будущий вид чертежа аналитическим способом.

Чтобы построить поверхность 2 порядка, необходимо:

• привести уравнение к каноническому виду;
• определить вид исследуемой поверхности;
• построить, опираясь на значения коэффициентов.

Ниже представлены все рассмотренные виды:

Для закрепления подробно распишем один пример такого типа задания.

Примеры

Допустим, имеется уравнение:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Приведем его к каноническому виду. Выделим полные квадраты, то есть скомпонуем имеющиеся слагаемые таким образом, чтобы они были разложением квадрата суммы или разности. Например: если (a+1) 2 =a 2 +2a+1, то a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Мы будем проводить вторую операцию. Скобки в данном случае раскрывать не обязательно, так как это только усложнит вычисления, а вот вынести общий множитель 6 (в скобке с полным квадратом игрека) необходимо:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Переменная зэт встречается в этом случае только один раз - ее можно пока не трогать.

Анализируем уравнение на данном этапе: перед всеми неизвестными стоит знак «плюс»; при делении на шесть остается единица. Следовательно, перед нами уравнение, задающее эллипсоид.

Заметьте, что 144 было разложено на 150-6, после чего -6 перенесли вправо. Почему надо было сделать именно так? Очевидно, что самый большой делитель в данном примере -6, следовательно, чтобы после деления на него справа осталась единица, необходимо «отложить» от 144 именно 6 (о том, что справа должна оказаться единица, говорит наличие свободного члена - константы, не помноженной на неизвестную).

Поделим все на шесть и получим каноническое уравнение эллипсоида:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

В использованной ранее классификации поверхностей 2 порядка рассматривается частный случай, когда центр фигуры находится в начале координат. В данном примере он смещен.

Полагаем, что каждая скобка с неизвестными - это новая переменная. То есть: a=x-1, b=y+5, c=z. В новых координатах центр эллипсоида совпадает с точкой (0,0,0), следовательно, a=b=c=0, откуда: x=1, y=-5, z=0. В изначальных координатах центр фигуры лежит в точке (1,-5,0).

Эллипсоид будет получаться из двух эллипсов: первого в плоскости XY и второго в плоскости XZ (или YZ - это не имеет значения). Коэффициенты, на которые делятся переменные, стоят в каноническом уравнении в квадрате. Следовательно, в приведенном примере правильнее было бы делить на корень из двух, единицу и корень из трех.

Меньшая ось первого эллипса, параллельная оси Y, равняется двум. Большая ось, параллельная оси X - двум корням из двух. Меньшая ось второго эллипса, параллельная оси Y, остается той же - она равна двум. А большая ось, параллельная оси Z, равняется двум корням из трех.

С помощью полученных из первоначального уравнения путем преобразования к каноническому виду данных мы можем начертить эллипсоид.

Подводя итоги

Освещенная в этой статье тема довольно обширная, но, на самом деле, как вы можете теперь видеть, не очень сложная. Ее освоение, по сути, заканчивается на том моменте, когда вы заучиваете названия и уравнения поверхностей (и, конечно, как они выглядят). В примере выше мы подробно рассматривали каждый шаг, но приведение уравнения к каноническому виду требует минимальных познаний в высшей математике и не должно вызывать никаких затруднений у студента.

Анализ будущего графика по имеющемуся равенству уже более сложная задача. Но для ее удачного решения достаточно понимать, как строятся соответствующие кривые второго порядка - эллипсы, параболы и прочие.

Случаи вырождения - еще более простой раздел. Из-за отсутствия некоторых переменных упрощаются не только вычисления, как уже было сказано ранее, но и само построение.

Как только вы сможете уверенно назвать все виды поверхностей, варьировать постоянные, превращая график в ту или иную фигуру - тема будет освоена.

Успехов в обучении!

Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.

1. Эллипсоид.

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h , где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

Исследуем уравнения (2) при различных значениях h .

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферо й .

2. Однополосный гиперболоид.

Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy . Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

3. Двуполостный гиперболоид.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

из которых следует, что при

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

4. Эллиптический параболоид.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

где p>0 и q>0.

Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат. (8)

из которых следует, что при . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскостьz=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

5. Гиперболический параболоид.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением

Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М 0 называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М 0 и через некоторую точку линии γ. Точка М 0 называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.

Теорема. Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением

является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс

Доказательство.

Пусть M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM 1 – прямая, M (x; y; z) принадлежит?. Так как | | , то, такое что

Так как, то ее координаты x 1 ; y 1 ; z 1 удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем, где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t 2 ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM 1 удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).

Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM 1 лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM 1 =m – прямолинейная образующая поверхности α.

Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:

Это сечение является эллипсом с полуосями а и b . Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О (0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.

Теорема доказана.

Определение 2. Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.

Свойства конуса 2-го порядка .

1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).

2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно

3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О (0,0,0).

4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.

5º Если а = b , то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.

Определение 3 : коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.