Определитель матрицы. Определители и системы линейных уравнений

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

Линейно зависимы:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α’ 1 + b 2 α’ 2 +…+ b m α’ m , b 1 а 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

Система называется однородной, если в ней все свободные члены равны нулю. Если такая однородная система имеет характеристические определители, то их последний столбец состоит из нулей, и они все равны нулю. Совершенно очевидно, что всякая однородная система имеет решение

которое в дальнейшем мы будем называть нулевым.

Для однородной системы основным является вопрос о том, имеет ли она решения, отличные от нулевого, и если имеет, то какова будет совокупность всех таких решений. Рассмотрим сначала тот случай, когда число уравнений равно числу неизвестных. Система будет иметь вид:

Если определитель этой системы отличен от нуля, то, согласно теореме Крамера, эта система имеет одно определенное решение, а именно в данном случае нулевое решение. Если же этот определитель равен нулю, то ранг k таблицы коэффициентов будет меньше числа неизвестных и, следовательно, значения (п - k) неизвестных останутся совершенно произвольными, и мы будем иметь бесчисленное множество решений, отличных от нулевого. Мы приходим таким образом к следующей основной теореме:

Теорема I. Для того чтобы система (14) имела решение, отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю.

Проведем параллель тех результатов, которые мы получили для неоднородной системы (1) и однородной системы (14). Если определитель системы отличен от нуля, то неоднородная система (1) имеет одно определенное решение, и однородная система - только нулевое решение. Если же определитель системы равен нулю, то однородная система (14) имеет решения, отличные от нулевого, но при этом условии неоднородная система (1), вообще говоря, вовсе решения не имеет, ибо для того, чтобы она имела решение, необходимо, чтобы свободные ее члены были выбраны так, чтобы они обращали в нуль все характеристические определители. Приведенный параллелизм результатов будет играть в дальнейшем существенную роль. В вопросах физики однородные системы встретятся при рассмотрении собственных колебаний, а неоднородные - при рассмотрении вынужденных колебаний, и указанный выше случай равенства нулю определителя будет характеризовать для однородной системы наличие собственных колебаний, а для неоднородной системы - явление резонанса.

Переходим теперь к более подробному рассмотрению решений системы (14), когда ее основной определитель равен нулю. Пусть k есть ранг таблицы ее коэффициентов, причем, очевидно, . Согласно доказанной в предыдущем номере теореме, мы должны взять те k уравнений, которые содержат главный определитель, и решить их относительно k неизвестных.

Положим, не ограничивая общности, что эти неизвестные будут . Решения получатся в виде:

где определенные численные коэффициенты и могут принимать произвольные значения.

Отметим одно общее свойство решения системы (14), непосредственно вытекающее из линейности и однородности этой системы, и которое может быть названо принципом наложения решений, а именно - если мы имеем несколько решений системы:

то, умножая их на произвольные постоянные и складывая, мы получим также решение системы

Поступая аналогично тому, как это мы делали для линейных дифференциальных уравнений , назовем решения (16) линейно-независимыми, если не существует никаких значений постоянных Q, среди которых есть отличные от нуля, таких, что при всяком s имеют место равенства:

Нетрудно построить линейно-независимых решений системы таких, что, умножая их на произвольные постоянные и складывая, получим все решения системы. Действительно, обратимся к формулам (15), дающим общее решение системы, и построим на основе этих формул решения следующим образом: в первом решении положим а все остальные равными нулю; во втором решении положим а все остальные равными нулю и т. д. и, наконец, в последнем решении положим и все остальные равными нулю. Нетрудно видеть, что построенные решения линейно-независимы, так как каждое из них содержит одно из неизвестных равным единице, которое в остальных решениях равно нулю. Обозначим полученные решения следующим образом.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

Алгоритм нахождения определителя

1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Методы вычислений определителей

1. вычисление определителя методом понижения порядка
2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).

Прикладное использование определителей

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.