Что такое прямая и обратная зависимость. Что такое прямая пропорциональность

I. Прямо пропорциональные величины.

Пусть величина y зависит от величины х . Если при увеличении х в несколько раз величина у увеличивается во столько же раз, то такие величины х и у называются прямо пропорциональными.

Примеры.

1 . Количество купленного товара и стоимость покупки (при фиксированной цене одной единицы товара — 1 штуки или 1 кг и т. д.) Во сколько раз больше товара купили, во столько раз больше и заплатили.

2 . Пройденный путь и затраченное на него время (при постоянной скорости). Во сколько раз длиннее путь, во столько раз больше потратим времени на то, чтобы его пройти.

3 . Объем какого-либо тела и его масса. (Если один арбуз в 2 раза больше другого, то и масса его будет в 2 раза больше )

II. Свойство прямой пропорциональности величин.

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Задача 1. Для малинового варенья взяли 12 кг малины и 8 кг сахара. Сколько сахара потребуется, если взяли 9 кг малины?

Решение.

Рассуждаем так: пусть потребуется х кг сахара на 9 кг малины. Масса малины и масса сахара — прямо пропорциональные величины: во сколько раз меньше малины, во столько же раз нужно меньше сахара. Следовательно, отношение взятой (по массе) малины (12:9 ) будет равно отношению взятого сахара (8:х ). Получаем пропорцию:

12: 9=8: х;

х=9· 8: 12;

х=6. Ответ: на 9 кг малины нужно взять 6 кг сахара.

Решение задачи можно было оформить и так:

Пусть на 9 кг малины нужно взять х кг сахара.

(Стрелки на рисунке направлены в одну сторону, а вверх или вниз — не имеет значения. Смысл: во сколько раз число 12 больше числа 9 , во столько же раз число 8 больше числа х , т. е. здесь прямая зависимость).

Ответ: на 9 кг малины надо взять 6 кг сахара.

Задача 2. Автомобиль за 3 часа проехал расстояние 264 км . За какое время он проедет 440 км , если будет ехать с той же скоростью?

Решение.

Пусть за х часов автомобиль пройдет расстояние 440 км.

Ответ: автомобиль пройдет 440 км за 5 часов.

Задача 3. Из трубы поступает вода в бассейн. За 2 часа она заполняет 1/5 бассейна. Какая часть бассейна заполняется водой за 5 часов ?

Решение.

Отвечаем на вопрос задачи: за 5 часов наполнится 1/х часть бассейна. (Весь бассейн принимается за одну целую).

О плюсах обучения с помощью видеуроков можно говорить бесконечно. Во-первых, они излагают мысли четко и понятно, последовательно и структурировано. Во-вторых, они занимают определенное фиксированное время, не являются, зачастую растянутыми и утомительными. В третьих, они являются более увлекательными для школьников, чем обычные уроки, к которым они привыкли. Просмотреть их можно жома в спокойной обстановке.

Во многих задачах из курса математики ученики 6 класса будут сталкиваться с прямой и обратной пропорциональной зависимостью. Прежде, чем начать изучение данной темы, стоит вспомнить, что же такое пропорции, и каким основным свойством они обладают.

Теме “Пропорции” посвящен предыдущий видеоурок. Данный же является логическим продолжением. Стоит отметить, что тема достаточно важная и часто встречаемая. Ее стоит как следует понять раз и навсегда.

Чтобы показать важность темы, видеоурок начинается с задачи. Условие появляется на экране и озвучивается диктором. Запись данных приводится в виде некоторой схемы, чтобы школьник, просматривающий видеозапись, мог как можно лучше понять. Буде лучше, если на первое время он будет придерживаться такой форме записи.

Неизвестное, как это принято в большинстве случаев, обознается латинской буквой x. Для его нахождения необходимо в первую очередь перемножить значения крест-накрест. Таким образом, получится равенство двух соотношений. Это говорит о том, что дело имеет с пропорциями и стоит вспомнить основное их свойство. Обращаем внимание на то, что все величины указаны в одинаковой единице измерения. В противном случае необходимо было привести их к одному измерению.

Просмотрев метод решения в видеозаписи, не должно возникнуть никаких трудностей при подобных задачах. Диктор комментирует каждый ход, объясняет все действия, напоминает изученный материал, который используется.

Сразу после просмотра первой части видеурока «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» можно предложить школьнику решить эту же задачу без помощи подсказок. После, можно предложить альтернативную иную задачу.

В зависимости от умственных способностей ученика, можно увеличивать постепенно сложности последующих задач.

После первой рассмотренной задачи приводится определение прямо пропорциональных величин. Определение зачитывается диктором. Основное понятие выделено красным.

Далее демонстрируется еще одна задача, на основе которой объясняется обратная пропорциональная зависимость. Эти понятия школьнику лучше всего записать в тетради. В случае необходимости перед контрольными работами, ученик может с легкостью найти все правила и определения и перечитать.

Просмотрев данную видеозапись, 6-классник поймет, каким образом нужно использовать пропорции в тех или иных задачах. Это достаточно важная тема, которую нельзя пропустить ни в коем случае. Если школьник не приспособлен воспринимать материал, преподносимый учителем во время урока среди других учеников, то подобные обучающие ресурсы станут отличным спасением!

Понятие о прямой пропорциональности

Представьте, что вы задумали купить своих любимых конфет (или чего угодно, что вам очень нравится). У конфет в магазине своя цена. Предположим, 300 рублей за килограмм. Чем больше конфет вы купите, тем больше денег заплатите. То есть если захотите 2 килограмма – заплатите 600 р., а захотите 3 кило – отдадите 900 рублей. С этим вроде бы все ясно, верно?

Если да, то тогда вам сейчас ясно и что такоепрямая пропорциональность– это понятие, которое описывает отношение двух зависящих друг от друга величин. И отношение этих величин остается неизменным и постоянным: на сколько частей увеличивается или уменьшается одна из них, на столько же частей пропорционально увеличивается или уменьшается вторая.

Описать прямую пропорциональность можно такой вот формулой:f(x) = a*x, и a в этой формуле – постоянная величина (a = const). В нашем примере про конфеты цена – это постоянная величина, константа. Она не возрастает и не уменьшается, сколько бы конфет вы не задумали купить. Независимая переменная (аргумент)x– это то, сколько килограммов конфет купить вы собираетесь. А зависимая переменнаяf(x) (функция) – то, сколько денег вы в итоге заплатите за свою покупку. Так что можем подставить в формулу цифры и получить: 600 р. = 300 р. * 2 кг.

Промежуточный вывод такой: если возрастает аргумент, возрастает и функция, если аргумент убывает, функция тоже убывает

Функция и ее свойства

Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.

Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t , и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k *x . Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S /t .

А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:

областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);

функция нечетная;

изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.

Прямая пропорциональность и ее график

График функции прямой пропорциональности – это прямая, которая пересекает точку начала координат. Чтобы его построить, достаточно отметить только еще одну точку. И соединить ее и начало координат прямой.

В случае с графикомk– это угловой коэффициент. Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k > 0), график и ось абсцисс образуют острый угол, а функция – возрастающая.

И еще одно свойство графика функции прямой пропорциональности напрямую связано с угловым коэффициентомk. Предположим, у нас две не идентичных функции и, соответственно, два графика. Так вот, если коэффициентыkэтих функций равны, их графики расположены на оси координат параллельно. А если коэффициентыkне равны друг другу, графики пересекаются.

Примеры задач

А теперь решим пару задач на прямую пропорциональность

Начнем с простого.

Задача 1: Представьте, что 5 куриц за 5 дней снесли 5 яиц. А если будет 20 куриц, сколько яиц они снесут за 20 дней?

Решение: Обозначим неизвестное какх. И рассуждать будем следующим образом: во сколько раз больше куриц стало? Разделим 20 на 5 и узнаем, что в 4 раза. А во сколько раз больше яиц снесут 20 куриц за те же 5 дней? Тоже в 4 раза больше. Значит, находим нашх так: 5*4*4 = 80 яиц снесут 20 куриц за 20 дней.

Теперь пример чуть сложнее, перефразируем задачу из «Всеобщей арифметики» Ньютона. Задача 2: Писатель за 8 дней может сочинить 14 страниц новой книги. Если бы у него были помощники, сколько бы человек понадобилось, чтобы написать 420 страниц за 12 дней?

Решение: Рассуждаем, что количество человек (писатель + помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если бы ее пришлось сделать за то же количество времени. Но во сколько раз? Разделив 420 на 14, узнаем, что увеличивается в 30 раз. Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз, а таким образом: х = 1 (писатель) * 30 (раз) : 12/8 (дней). Преобразуем и выясним, что х = 20 человек напишут 420 страниц за 12 дней.

Решим еще задачу, похожую на те, что были у нас в примерах.

Задача 3: В одно и то же путешествие отправилось два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найдите скорость второго автомобиля.

Решение: Как вы помните, путь определяется через скорость и время – S = V *t . Поскольку путь оба автомобиля проделали одинаковый, мы можем приравнять два выражения: 70*2 = V*7. Откуда найдем, что скорость второго автомобиля, это V = 70*2/7 = 20 км/ч.

И еще пару примеров заданий с функциями прямой пропорциональности. Иногда в задачах требуется найти коэффициент k.

Задача 4 : Даны функции у = - х/16 и у = 5х/2, определите их коэффициенты пропорциональности.

Решение: Как вы помните, k = у/х. Значит, для первой функции коэффициент равен -1/16, а для второй k = 5/2.

А еще вам может встретиться задание, как Задача 5 : Запишите формулой прямую пропорциональность. Ее график и график функции у = -5х + 3 расположены параллельно.

Решение: Функция, которая дана нам в условии, – линейная. Нам известно, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. А также мы знаем, что если коэффициенты k функций равны, их графики параллельны. Значит, все, что требуется – это вычислить коэффициент известной функции и задать прямую пропорциональность по знакомой нам формуле: y = k *x . Коэффициент k = -5, прямая пропорциональность: у = -5*х.

Вывод

Теперь вы узнали (или вспомнили, если уже проходили эту тему раньше), что называется прямой пропорциональностью , и рассмотрели ее примеры . Мы также поговорили о функции прямой пропорциональности и ее графике, решили несколько задач для примера.

Если эта статья оказалась полезной и помогла разобраться в теме, расскажите нам об этом в комментариях. Чтобы мы знали, смогли ли принести вам пользу.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз.

Пропорциональность бывает прямой и обратной. В данном уроке мы рассмотрим каждую из них.

Прямая пропорциональность

Предположим, что автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч. Мы помним, что скорость это расстояние, пройденное за единицу времени (1 час, 1 минуту или 1 секунду). В нашем примере автомобиль двигается со скоростью 50 км/ч, то есть за один час он будет проезжать расстояние, равное пятидесяти километрам.

Изобразим на рисунке расстояние, пройденное автомобилем за 1 час

Пусть автомобиль проехал еще один час с той же скоростью, равной пятидесяти километрам в час. Тогда получится, что автомобиль проедет 100 км

Как видно из примера, увеличение времени в два раза привело к увеличению пройденного расстояния во столько же раз, то есть в два раза.

Такие величины, как время и расстояние называют прямо пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют прямой пропорциональностью .

Прямой пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой увеличение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая уменьшается во столько же раз.

Предположим, что изначально планировалось проехать на автомобиле 100 км за 2 часа, но проехав 50 км, водитель решил отдохнуть. Тогда получится, что уменьшив расстояние в два раза, время уменьшится во столько же раз. Другими словами, уменьшение пройденного расстояния приведет к уменьшению времени во столько же раз.

Интересная особенность прямо пропорциональных величин заключается в том, что их отношение всегда постоянно. То есть, при изменении значений прямо пропорциональных величин, их отношение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние сначала было равно 50 км, а время одному часу. Отношение расстояния ко времени есть число 50.

Но мы увеличили время движения в 2 раза, сделав его равным двум часам. В результате пройденное расстояние увеличилось во столько же раза, то есть стало равно 100 км. Отношение ста километров к двум часам опять же есть число 50

Число 50 называют коэффициентом прямой пропорциональности . Он показывает сколько расстояния приходится на час движения. В данном случае коэффициент играет роль скорости движения, поскольку скорость это отношение пройденного расстояния ко времени.

Из прямо пропорциональных величин можно составлять пропорции. К примеру, отношения и составляют пропорцию:

Пятьдесят километров так относятся к одному часу, как сто километров относятся к двум часам.

Пример 2 . Стоимость и количество купленного товара являются прямо пропорциональными величинами. Если 1 кг конфет стоит 30 рублей, то 2 кг этих же конфет обойдутся в 60 рублей, 3 кг в 90 рублей. С увеличением стоимости купленного товара, его количество увеличивается во столько же раз.

Поскольку стоимость товара и его количество являются прямо пропорциональными величинами, то их отношение всегда постоянно.

Запишем чему равно отношение тридцати рублей к одному килограмму

Теперь запишем чему равно отношение шестидесяти рублей к двум килограммам. Это отношение опять же будет равно тридцати:

Здесь коэффициентом прямой пропорциональности является число 30. Этот коэффициент показывает сколько рублей приходится на килограмм конфет. В данном примере коэффициент играет роль цены одного килограмма товара, поскольку цена это отношение стоимости товара на его количество.

Обратная пропорциональность

Рассмотрим следующий пример. Расстояние между двумя городами 80 км. Мотоциклист выехал из первого города, и со скоростью 20 км/ч доехал до второго города за 4 часа.

Если скорость мотоциклиста составила 20 км/ч это значит, что каждый час он проезжал расстояние равное двадцати километрам. Изобразим на рисунке расстояние, пройденное мотоциклистом, и время его движения:

На обратном пути скорость мотоциклиста была 40 км/ч, и на тот же путь он затратил 2 часа.

Легко заметить, что при изменении скорости, время движения изменилось во столько же раз. Причем изменилось в обратную сторону — то есть, скорость увеличилась, а время наоборот уменьшилось.

Такие величины, как скорость и время называют обратно пропорциональными. А взаимосвязь между такими величинами называют обратной пропорциональностью .

Обратной пропорциональностью называют взаимосвязь между двумя величинами, при которой увеличение одной из них влечет за собой уменьшение другой во столько же раз.

и наоборот, если одна величина уменьшается в определенное число раз, то другая увеличивается во столько же раз.

К примеру, если на обратном пути скорость мотоциклиста составила бы 10 км/ч, то те же 80 км он преодолел бы за 8 часов:

Как видно из примера, уменьшение скорости привело к увеличению времени движения во столько же раз.

Особенность обратно пропорциональных величин заключается в том, что их произведение всегда постоянно. То есть, при изменении значений обратно пропорциональных величин, их произведение остается неизменным.

В рассмотренном примере расстояние между городами было равно 80 км. При изменении скорости и времени движения мотоциклиста, это расстояние всегда оставалось неизменным

Мотоциклист мог проехать это расстояние со скоростью 20 км/ч за 4 часа, и со скоростью 40 км/ч за 2 часа, и со скоростью 10 км/ч за 8 часов. Во всех случаях произведение скорости и времени было равно 80 км

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Пример

Коэффициент пропорциональности

Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.

Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:

f (x ) = a x ,a = c o n s t

Обратная пропорциональность

Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).

Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:

Свойства функции:

Источники

Wikimedia Foundation . 2010 .