Как образуется любое число в натуральном ряду. Материал по математике "Числа. Натуральные числа"

Натуральные числа

Натуральные числа определение - это целые положительные числа. Натуральные числа используют для счета предметов и многих иных целей. Вот эти числа:

Это натуральный ряд чисел.
Ноль натуральное число? Нет, ноль не является натуральным числом.
Сколько натуральных чисел существует? Существует бесконечное множество натуральных чисел.
Каково наименьшее натуральное число? Единица - это наименьшее натуральное число.
Каково наибольшее натуральное число? Его невозможно указать, ведь существует бесконечное множество натуральных чисел.

Сумма натуральных чисел есть натуральное число. Итак, сложение натуральных чисел a и b:

Произведение натуральных чисел есть натуральное число. Итак, произведение натуральных чисел a и b:

с - это всегда натуральное число.

Разность натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность натуральных чисел есть натуральное число, иначе - нет.

Частное натуральных чисел Не всегда есть натуральное число. Если для натуральных чисел a и b

где с - натуральное число, то это значит, что a делится на b нацело. В этом примере a - делимое, b - делитель, c - частное.

Делитель натурального числа - это натуральное число, на которое первое число делится нацело.

Каждое натуральное число делится на единицу и на себя.

Простые натуральные числа делятся только на единицу и на себя. Здесь имеется ввиду делятся нацело. Пример, числа 2; 3; 5; 7 делятся только на единицу и на себя. Это простые натуральные числа.

Единицу не считают простым числом.

Числа, которые больше единицы и которые не являются простыми, называют составными. Примеры составных чисел:

Единицу не считают составным числом.

Множество натуральных чисел составляют единица, простые числа и составные числа.

Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N.

Свойства сложения и умножения натуральных чисел:

переместительное свойство сложения

сочетательное свойство сложения

(a + b) + c = a + (b + c);

переместительное свойство умножения

сочетательное свойство умножения

(ab) c = a (bc);

распределительное свойство умножения

A (b + c) = ab + ac;

Целые числа

Целые числа - это натуральные числа, ноль и числа, противоположные натуральным.

Числа, противоположные натуральным - это целые отрицательные числа, например:

1; -2; -3; -4;...

Множество целых чисел обозначается латинской буквой Z.

Рациональные числа

Рациональные числа - это целые числа и дроби.

Любое рациональное число может быть представлено в виде периодической дроби. Примеры:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Из примеров видно, что любое целое число есть периодическая дробь с периодом ноль.

Любое рациональное число может быть представлено в виде дроби m/n, где m целое число,n натуральное число. Представим в виде такой дроби число 3,(6) из предыдущего примера.

Натуральные числа — одно из старейших математических понятий.

В далёком прошлом люди не знали чисел и, когда им требовалось пересчитать предметы (животных, рыбу и т.д.), они делали это не так, как мы сейчас.

Количество предметов сравнивали с частями тела, например, с пальцами на руке и говорили: «У меня столько же орехов, сколько пальцев на руке».

Со временем люди поняли, что пять орехов, пять коз и пять зайцев обладают общим свойством — их количество равно пяти.

Запомните!

Натуральные числа — это числа, начиная с 1 , получаемые при счете предметов.

1, 2, 3, 4, 5…

Наименьшее натуральное число — 1 .

Наибольшего натурального числа не существует.

При счёте число ноль не используется. Поэтому ноль не считается натуральным числом.

Записывать числа люди научились гораздо позже, чем считать. Раньше всего они стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками — число 2 , тремя — число 3 .

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел — предшественники современных цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами .

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . С помощью этих цифр можно записать любое натуральное число.

Запомните!

Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

В натуральном ряду каждое число больше предыдущего на 1 .

Натуральный ряд бесконечен, наибольшего натурального числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной .

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старшего разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

Важно!

Следующие за миллиардом классы названы в соответствии с латинскими наименованиями чисел. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

1 000 миллиардов = 1 000 000 000 000 = 1 триллион («три» — по латыни «три»)
1 000 триллионов = 1 000 000 000 000 000 = 1 квадриллион («квадра» — по латыни «четыре»)
1 000 квадриллионов = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 квинтиллион («квинта» — по латыни «пять»)

Однако, физики нашли число, которое превосходит количество всех атомов (мельчайших частиц вещества) во всей Вселенной.

Это число получило специальное название — гугол . Гугол — число, у которого 100 нулей.

Определение

Натуральными числами называются числа, предназначенные для счета предметов. Для записи натуральных чисел используются 10 арабских цифр (0–9), положенных в основание общепринятой для математических расчетов десятичной системы счисления.

Последовательность натуральных чисел

Натуральные числа составляют ряд, начинающийся с 1 и охватывающий множество всех положительных целых чисел. Такая последовательность состоит из чисел 1,2,3, … . Это означает, что в натуральном ряду:

Есть наименьшее число и нет наибольшего.
Каждое следующее число больше предыдущего на 1 (исключение – сама единица).
При стремлении к бесконечности числа растут неограниченно.

Иногда в ряд натуральных чисел вводят и 0. Это допустимо, и тогда говорят о расширенном натуральном ряде.

Классы натуральных чисел

Каждая цифра натурального числа выражает определенный разряд. Самая последняя – это всегда количество единиц в числе, предыдущая перед ней – количество десятков, третья от конца – количество сотен, четвертая – количество тысяч и так далее.

в числе 276: 2 сотни, 7 десятков, 6 единиц
в числе 1098: 1 тысяча, 9 десятков, 8 единиц; разряд сотен здесь отсутствует, поскольку выражен нулем.

Для больших и очень больших чисел можно увидеть устойчивую тенденцию (если исследовать число справа налево, то есть от последней цифры к первой):

три последних цифры в числе – это единицы, десятки и сотни;
три предыдущие – это единицы, десятки и сотни тысяч;
три стоящие перед ними (т.е.7-я, 8-я и 9-я цифры числа, считая от конца) – это единицы, десятки и сотни миллионов и т.д.

То есть всякий раз мы имеем дело с тремя цифрами, означающими единицы, десятки и сотни более крупного наименования. Такие группы формируют классы. И если с первыми тремя классами в повседневной жизни приходится иметь дело более или менее часто, то другие следует перечислить, потому что далеко не все помнят наизусть их названия.

4-й класс, следующий за классом миллионов и представляющий собой числа из 10-12 цифр, называется миллиард (либо биллион);
5-й класс – триллион;
6-й класс – квадриллион;
7-й класс – квинтиллион;
8-й класс – секстиллион;
9-й класс – септиллион.

Сложение натуральных чисел

Сложение натур.чисел представляет собой арифметическое действие, позволяющее получить число, в котором содержится столько же единиц, сколько имеется в складываемых числах вместе.

Знаком сложения является знак «+». Складываемые числа называются слагаемыми, получаемый результат – суммой.

Небольшие числа складывают (суммируют) устно, письменно такие действия записывают в строку.

Многозначные числа, которые прибавлять в уме затруднительно, принято складывать в столбик. Для этого числа записывают одно под другим, выравнивая по последней цифре, то есть пишут разряд единиц под разрядом единиц, разряд сотен под разрядом сотен и так далее. Далее нужно попарно сложить разряды. Если сложение разрядов происходит с переходом через десяток, то этот десяток фиксируется как единица над разрядом слева (то есть следующим за ним) и суммируется вместе с цифрами этого разряда.

Если в столбик складывается не 2, а больше чисел, то при суммировании цифр разряда избыточным может оказаться не 1 десяток, а несколько. В этом случае на следующий разряд переносится количество таких десятков.

Вычитание натуральных чисел

Вычитание – это арифметическое действие, обратное сложению, которое сводится к тому, что по имеющейся сумме и одному из слагаемых нужно найти другое – неизвестное слагаемое. Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым; число, которое вычитают, – вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. Знак, которым обозначают действие вычитания, является «–».

При переходе к сложению вычитаемое и разность превращаются в слагаемые, а уменьшаемое – в сумму. Сложением обычно проверяют правильность выполненного вычитания, и наоборот.

Здесь 74 – уменьшаемое, 18 – вычитаемое, 56 – разность.

Обязательным условием при вычитании натуральных чисел является следующее: уменьшаемое обязательно должно быть больше вычитаемого. Только в этом случае полученная разность тоже будет натуральным числом. Если действие вычитания осуществляется для расширенного натурального ряда, то допускается, чтобы уменьшаемое было равно вычитаемому. И результатом вычитания в этом случае будет 0.

Примечание: если нулю равно вычитаемое, то операция вычитания не изменяет величины уменьшаемого.

Вычитание многозначных чисел обычно производят в столбик. Записывают при этом числа так же, как и для сложения. Вычитание выполняется для соответствующих разрядов. Если же оказывается, что уменьшаемое меньше вычитаемого, то берут единицу из предыдущего (находящегося слева) разряда, которая после переноса, естественно, превращается в 10. Эту десятку суммируют с цифрой уменьшаемого данного разряда и после этого производят вычитание. Далее при вычитании следующего разряда обязательно учитывают, что уменьшаемое стало на 1 меньше.

Произведение натуральных чисел

Произведение (или умножение) натуральных чисел – это арифметическое действие, представляющее собой нахождение суммы произвольного количества одинаковых слагаемых. Для записи действия умножения используют знак «·» (иногда «×» или «*»). Например: 3·5=15.

Действие умножение незаменимо при необходимости складывать большое количество слагаемых. Например, если нужно число 4 прибавить 7 раз, то перемножить 4 на 7 проще, нежели выполнять такое сложение: 4+4+4+4+4+4+4.

Числа, которые перемножают, называются множителями, результат умножения – произведением. Соответственно, термин «произведение» может в зависимости от контекста выражать собой как процесс умножения, так и его результат.

Многозначные числа перемножают в столбик. Для этого числа записывают так же, как и для сложения и вычитания. Рекомендуется первым (выше) записывать то из 2-х чисел, которое длиннее. В этом случае процесс умножения будет более простым, а следовательно, более рациональным.

При умножении в столбик выполняют последовательное умножение цифры каждого из разрядов второго числа на цифры 1-го числа, начиная с его конца. Найдя первое такое произведение, записывают цифру единиц, а цифру десятков держат в уме. При умножения цифры 2-го числа на следующую цифру 1-го числа к произведению прибавляют ту цифру, которую держат в уме. И снова записывают цифру единиц полученного результата, а цифру десятков запоминают. При умножении на последнюю цифру 1-го числа полученное таким способом число записывают полностью.

Результаты умножения цифры 2-го разряда второго числа записывают вторым рядом, сместив его на 1 клетку вправо. И так далее. В итоге будет получена «лесенка». Все получившиеся ряды цифр следует сложить (по правилу сложения в столбик). Пустые клетки при этом нужно считать заполненными нулями. Полученная сумма и есть конечное произведение.

Примечание

Произведение любого натур.числа на 1 (или 1 на число) равно самому числу. Например: 376·1=376; 1·86=86.
Когда один из множителей либо оба множителя равны 0, то и произведение равно 0. Например: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

Деление натуральных чисел

Делением называют арифметическое действие, с помощью которого по известному произведению и одному из множителей может быть найдет другой – неизвестный – множитель. Деление является действием, обратным умножению, и используется для проверки правильности выполненного умножения (и наоборот).

Число, которое делят, называют делимым; число, на которое делят, – делителем; результат деления называется частным. Знаком деления является «:» (иногда, реже – «÷»).

Здесь 48 – делимое, 6 – делитель, 8 – частное.

Не все натуральные числа можно поделить между собой. В этом случае выполняют деление с остатком. Заключается оно в том, что для делителя подбирается такой множитель, чтобы его произведение на делитель было бы числом, максимально близким по значению к делимому, но меньшим него. Делитель умножают на этот множитель и вычитают его из делимого. Разность и будет остатком от деления. Произведение делителя на множитель называют неполным частным. Внимание: остаток обязательно должен быть меньше подобранного множителя! Если остаток больше, то это означает, что множитель подобран неверно, и его следует увеличить.

Подбираем множитель для 7. В данном случае это число 5. Находим неполное частное: 7·5=35. Вычисляем остаток: 38-35=3. Поскольку 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Многозначные числа делят в столбик. Для этого делимое и делитель записывают рядом, отделив делитель вертикальной и горизонтальной чертой. В делимом выделяют первую цифру или несколько первых цифр (справа), которые должны представлять собой число, минимально достаточное для деления на делитель (то есть это число должно быть больше делителя). Для этого числа подбирают неполное частное, как описано в правиле деления с остатком. Цифру множителя, использованного для нахождения неполного частного, записывают под делителем. Неполное частное записывают под числом, которое делили, выровняв его по правому краю. Находят их разность. Сносят следующую цифру делимого, вписав ее рядом с этой разностью. Для полученного числа снова находят неполное частное, записав цифру подобранного множителя, рядом с предыдущей под делителем. И так далее. Такие действия производят до тех пор, пока не закончатся цифры делимого. После этого деление считается завершенным. Если делимое и делитель делятся нацело (без остатка), то последняя разность даст нуль. В противном случае будет получено число остатка.

Возведение в степень

Возведение в степень – это математическое действие, заключающееся в перемножении произвольного количества одинаковых чисел. Например: 2·2·2·2.

Такие выражения записываются в виде: a x ,

где a – перемножаемое само на себя число, x – количество таких множителей.

Простые и составные натуральные числа

Всякое натуральное число, кроме 1, можно разделить как минимум на 2 числа – на единицу и на само себя. Исходя из этого критерия, натуральные числа разделяют на простые и составные.

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, делящаяся исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным.

Простыми являются числа: 2,3,5,7,11,13,17,19 и т.д. Примеры составных чисел: 4 (делится на 1,2,4), 6 (делится на 1,2,3,6), 20 (делится на 1,2,4,5,10,20).

Всякое составное число можно разложить на простые множители. Под простыми множителями при этом понимаются его делители, являющиеся простыми числами.

Пример разложения на простые множители:

Делители натуральных чисел

Под делителем понимают число, на которое можно без остатка разделить данное число.

В соответствии с этим определением, простые натур.числа имеют 2 делителя, составные – больше 2 делителей.

Многие числа имеют общие делители. Общим делителем называется число, на которое данные числа делятся без остатка.

У чисел 12 и 15 общий делитель 3
У чисел 20 и 30 общие делители 2,5,10

Особое значение имеет наибольший общий делитель (НОД). Это число, в частности, полезно уметь находить для сокращения дробей. Для его нахождения требуется разложить данные числа на простые множители и представить его как произведение их общих простых множителей, взятых в наименьших своих степенях.

Требуется найти НОД чисел 36 и 48.

Делимость натуральных чисел

Далеко не всегда представляется возможным «на глазок» определить, делится ли одно число на другое без остатка. В таких случаях полезным оказывается соответствующий признак делимости, то есть правило, по которому за считанные секунды можно определить, можно ли разделить числа без остатка. Для обозначения делимости используется знак «».

Наименьшее общее кратное

Эта величина (обозначается НОК) представляет собой наименьшее число, которое делится на каждое из заданных. НОК может быть найден для произвольного набора натуральных чисел.

НОК, как и НОД, имеет значительный прикладной смысл. Так, именно НОК нужно находить, приводя обыкновенные дроби к общему знаменателю.

НОК определяется путем разложения заданных чисел на простые множители. Для его формирования берется произведение, состоящее из каждого из встречающихся (хотя бы для 1 числа) простых множителей, представленных в максимальной степени.

Требуется найти НОК чисел 14 и 24.

Среднее арифметическое

Средним арифметических произвольного (но конечного) количества натуральных чисел является сумма всех этих чисел, разделенная на количество слагаемых:

Среднее арифметическое представляет собой некоторое усредненное значение для числового множества.

Даны числа 2,84,53,176,17,28. Требуется найти их среднее арифметическое.

Натуральные числа

Натуральные числа – это те числа, которые применяются для подсчета различных предметов или для того, чтобы указать порядковый номер какого-либо предмета среди себе подобных или однородных.

Записывать натуральные числа можно с помощью первых десяти цифр:

Для записи простых натуральных чисел принято использовать позиционную десятичную систему исчисления, где значение любой цифры определяют ее местом в записи.

Натуральные числа – это простейшие числа, часто используемые нами в повседневной жизни. С помощью этих чисел мы ведем подсчеты, считаем предметы, определяем их количество, порядок и номер.

С натуральными числами мы начинаем знакомиться с самого раннего детства, поэтому они для каждого из нас являются привычными и естественными.

Общее представление о натуральных числах

Натуральные числа предназначены для несения информации о количестве предметов, их порядковом номере и множестве предметов.

Человек использует натуральные числа, так как они ему доступны как на уровне восприятия, так и на уровне воспроизведения. При озвучивании любого натурального числа, мы с вами легко его улавливаем на слух, а изобразив натуральное число – мы его видим.

Все натуральные числа располагаются в порядке возрастания и образуют числовой ряд, начинающийся с наименьшего натурального числа, которым является единица.

Если мы определились с наименьшим натуральным числом, то с наибольшим будет посложнее, так как такого числа не существует потому, что ряд натуральных чисел является бесконечным.

При прибавлении к натуральному числу единицы, в итоге мы получим число, которое идет за данным числом.

Такая цифра, как 0 не есть натуральным числом, а только служит для обозначения числа «ноль» и значит «ни одного». 0 означает отсутствие в десятичной записи чисел единиц данного ряда.

Все натуральные числа обозначаются заглавной латинской буквой N.

Историческая справка обозначения натуральных чисел

В древние времена человек еще не знал, что такое число и как можно посчитать количество предметов. Но уже тогда возникла необходимость в счете, и человек придумал, как можно сосчитать пойманную рыбу, собранные ягоды и т.д.

Немного позже, древний человек пришел к тому, что нужное ему количество проще записать. Для этих целей первобытные люди стали использовать камешки, а потом палочки, которые сбереглись в римских цифрах.

Следующим моментом развития системы исчисления стало использование в обозначениях некоторых чисел букв алфавита.

К первым системам исчисления относится десятичная индийская система и шестидесятеричная вавилонская.

Современная система исчисления, хоть и называется арабской, но, по сути, представляет один из вариантов индийской. Правда в ее системе исчисления отсутствует цифра ноль, но арабы ее добавили, и система приобрела нынешний вид.

Десятичная система исчисления

С натуральными числами мы уже познакомись и научились записывать их с помощью десяти цифр. Также вам уже известно, что запись чисел с использованием знаков, называется системой исчисления.

Значение цифры в записи числа зависит от ее позиции и называется позиционным. То есть, при методах записи натуральных чисел, мы используем позиционную систему исчисления.

Данная система основывается на разрядности и десятичности. В десятичной системе исчисления основой для ее построения будут цифры от 0 до 9.

Особое место в такой системе отводится числу 10, так как, в основном счет ведется десятками.

Таблица классов и разрядов:

Так, например, 10 единиц объединены в десятки, далее в сотни, тысячи и тому подобное. Поэтому число 10 является основанием системы исчисления и носит название десятичной системы исчисления.