Сила — вектор. Единицы измерения сил. Направление вектора силы тяжести

Во-первых, различие между «гравитацией» и «гравитацией», используемой в геофизике. «Гравитация» относится к закону тяготения Ньютона. (Никто не использует общую теорию относительности к моделированию тяготения для небольших, кусковых масс, таких как Земля, Марс или Луна.) «Гравитация» относится к тому, как все кажется падающим с точки зрения наблюдателя, зафиксированного относительно вращающейся Земли. Таким образом, гравитация включает в себя гравитационное ускорение (внутрь, более или менее к центру Земли) и центробежное ускорение (наружу, от оси вращения Земли). Этот вопрос задает вопрос о гравитации, а не о гравитации.

Как я понимаю, вычислить вектор гравитации, не позволяющий вычислить нормаль к элипсоиду, но нам нужно вычислить нормаль к геоиду (по определению геоид - это поверхность, к которой сила тяжести везде перпендикулярна).

Это наоборот. Геоид - расчетная поверхность. До эры спутника одним из ключевых наборов входных данных для расчета геоида были наблюдения за отклонениями локальной гравитации, в частности отклонение вертикали. В каком направлении гравитация указывала на несколько мест, давалась подсказка относительно локального облика геоида.

Наблюдение орбит спутников обеспечивает глобальную меру гравитационного поля Земли. Сателлиты были специально созданы для этой работы, совсем недавно, GRACE и GOCE. Гравитационное поле Земли публикуется в терминах коэффициентов сферической гармоники. Гравитационный вектор для точки в пространстве на поверхности Земли или над ней может быть вычислен непосредственно из этих коэффициентов. Векторное добавление в центробежном ускорении из-за вращения Земли приводит к гравитационному вектору. Положение также дает номинальный вектор силы тяжести, предполагающий эллипсоидальную Землю.

So I have some questions:

How to compute normal to geoid?

Как отмечено выше, геоид не нужен. Современные модели геоида рассчитываются по тем же сферическим гармоническим коэффициентам (плюс вращение Земли), которые использовались для расчета гравитационного ускорения и силы тяжести.

Технический термин - «отклонение вертикали» (с вариациями). Per Hirt et al., Это до 100 секунд дуги, примерно в 10 километрах к югу от вершины Аннапурны II. Это расчетное значение, основанное на различных спутниковых моделях (которые немного грубые) в сочетании с цифровыми картами местности в сочетании с некоторой более волосатой математикой для создания мелкомасштабных моделей.

Разбирая второй закон Ньютона и возникшую по его поводу дискуссию, употребляли два возможных определения силы (в прямолинейном движении):

Оба эти закона вполне справедливы и равноправны, но все же представляют довольно существенные различия между собой. Первое определение, основанное на дифференцировании количества движения, легко можно распространить и на общий случай пространственного движения точки; достаточно лишь выразить это равенство в векторной форме:

Что касается второго определения, то, поскольку кинетическая энергия не является векторной величиной, выразить его так сразу нельзя; придется создать специальный математический аппарат.

Таким образом, имеется два различных возможных направления развития: векторное и скалярное. Родоначальником скалярного направления является Лагранж, в механике которого кинетическая и потенциальная энергии имеют большое значение.

Во втором направлении развития - школе количества движения, или геометрической школе, - основным понятием является изображение силы в виде вектора.

В настоящее время понятие Силы-вектора настолько применимо, что трудно даже представить иной термин. В действительности, конечно, дело было совсем не так просто. В древности понятие силы как мощности вообще исключало идею о направлении; в средние века можно было различать «тяжесть в зависимости от положения» (gravitas secundum situs ), но это было лишь зародышем идеи о направлении.

Направление силы вполне определилось, когда силу стали выражать через количество движения, но и вектор, изображающий, силу, по существу, определял даже не скорость, а геометрический отрезок прямой линии, представлявший путь, пройденный телом за определенный промежуток времени, большей частью принятый за его единицу. Оба элемента силы - величина и направление - мыслились совершенно независимо одна от другой.

Чтобы убедиться в этом, проследим, каким образом рассматривал это Лагранж. Определяя направление силы, он рассматривал точку приложения силы, затем на прямой, по которой действовала сила, он брал точку, называемую центром действия (идея эта, вероятно, восходит к Ньютону и к его центростремительным силам); к этой точке была направлена приложенная сила. Расстояние от точки приложения силы до центра ее действия представлялось скалярной величиной, уменьшавшейся во время действия силы; поэтому виртуальные моменты Лагранжа и получались отрицательными. Таким образом, величина силы Р и определявший ее направление отрезок существовали вполне независимо и соединялись только при образовании виртуального момента.

Современное изображение силы отрезком, который одновременно давал и величину силы, и ее направление, появилось, позже а притом еще без стрелки - направление определялось последовательностью букв при начале и конце отрезка.

Какие же принципы были определяющими для такого представления силы? Прежде всего это требование наглядности, необходимой для массового распространения механических знаний среди новой инженерной профессии, начало которой положил Монж в начертательной геометрии. Но, кроме того, были и другие причины.

В XVIII в. в математике большое распространение получила идея о применении мнимого числа. В XVII в. можно было не применять мнимые числа, так как при решении алгебраических уравнений существенное значение имели лишь действительные числа; но так называемый неприводимый случай (casus irreductibilis ) в решении кубического уравнения с тремя действительными корнями требовал особого рассмотрения. В течение же XVIII в., когда после работ Эйлера выяснилось, что показательные и тригонометрические функции восходят к общему корню и различаются лишь теми значениями, действительными или мнимыми, которые принимает аргумент, положение существенно изменилось. Мнимые числа уже начали становиться (тоже в какой-то степени) такими же реальными, как и действительные. Встал вопрос о каком-то реальном их изображении.

Отметим, что постановка и правильное решение этого вопроса были сделаны не специалистом-математиком; это был норвежец Гаспар Вессель (1745-1818), геодезист по специальности, работа которого «Об аналитическом представлении направлений» («Оm directionens analytiske Betegning ») была напечатана в 1799 г. в «Трудах» Датской Академии наук. Он показал, что при помощи комбинаций четырех взаимно перпендикулярных единиц 1, -1, i и -i можно представить любое направление на плоскости; таким образом, комплексное число где х и у - любые положительные или отрицательные числа, а , может на плоскости представить любой отрезок и по величине, и по направлению.

Хотя работа Весселя , написанная на датском языке и помещенная в малораспространенном издании, была правильно оценена только во второй половине XIX в., но аналогичные представления были развиты и другими математиками; в частности, на это в конце XVIII в. обратил внимание Гаусс. Проводивший измерения на плоскости, Вессель легко выполнял свою работу пользуясь комплексными числами, зависящими только от двух единиц.

В механике при переходе к пространству трех измерений можно было бы добавить еще одну единицу, но, к сожалению, дело вышло не так просто: оказалось невозможным построить систему комплексных чисел на основе трех единиц, не нарушая законов, которым должны удовлетворять правила действия над числами при их дальнейших обобщениях. Особые трудности возникли при определении операции умножения.

Основных законов было пять:

1. Произведение двух чисел должно быть числом того же рода, что и перемножаемые.

Это значит, что произведение двух прямолинейных отрезков должно быть тоже отрезком, а не площадью прямоугольника, построенного на этих отрезках.

2. Переместительный закон: .

3. Сочетательный закон .

4. Распределительный закон .

5. Произведение двух чисел может равняться нулю, если равен нулю один из множителей.

Эти законы выполняются для всех чисел, рассматриваемых в алгебре, включая и обыкновенные комплексные числа с мнимой и действительной единицами. При дальнейшем обобщении нельзя было сохранить все эти законы. Можно было пренебречь переместительным и сочетательным законами, поскольку они требовали лишь определенной последовательности совершения операций. Но остальные законы сохранить было необходимо.

Что касается первого закона, то важность его сохранения поняли еще древние греки, так как в геометрии они должны были ограничиваться перемножением только двух отрезков (площадь) или трех (объем).

Необходимость распределительного закона очевидна: без него была бы невозможной алгебра.

Пятый закон позволяет решать алгебраические уравнения высших степеней путем разложения их на множители и последовательного приравнивания к нулю каждого из множителей.

Покажем, что для комплексных чисел вида

пятый закон не может быть удовлетворен.

Пусть даны два числа

где a, b, c - заданные действительные числа, х, у, z - какие угодно числа, не равные одновременно нулю. Перемножая А и X по правилу умножения многочленов, получаем девять членов с произведениями ii , ij , ik и т. д. Так как произведение должно содержать только три члена и все единичные векторы имеют абсолютную величину, равную единице, то каждое из девяти произведений их должно равняться какому-либо из векторов i, j, k с коэффициентом ± 1.

Рассмотренное произведение имеет вид

где коэффициенты A, В , С - известные числа из ряда а, b, с ,помноженные на ±1. Для равенства нулю этого произведения необходимо, чтобы

Эти уравнения имеют тривиальные решения или они являются неопределенными, если равен нулю детерминант из коэффициентов

Так как каждый из коэффициентов А , В, С является линейной функцией от а, b, с , то, считая два из них, например b и c , известными и раскрывая детерминант, получаем относительно а уравнение третьей степени, которое всегда имеет один действительный корень - пусть а 0 . Тогда число

помноженное на любое число , даст в пр оизведении нуль, хотя ни один из множителей не равен нулю. Отсюда следуй что комплексное число с тремя (или вообще с 2n + 1) единицами не удовлетворяет приведенным основным законам. Для этого нужно было бы, чтобы все корни уравнения, полученного из разложения детерминанта, были мнимыми, а это возможно лишь в том случае, если степень этого уравнения будет четной, что легко можно проверить для обыкновенных комплексных чисел вида а + W.

Когда это было установлено, то Гамильтон (1805-1865) попробовал взять комплексное число с четырьмя единицами вида

так называемый кватернион. Первое слагаемое (действительное число) он называл скаляром, а совокупность трех остальных - вектором. Достаточно рассмотреть лишь правило умножения векторных частей:

Произведения одинаковых единичных векторов Гамильтон положил равными -1:

Для произведения неравных единичных векторов Гамильтон отказался от закона переместительности и вывел известные теперь формулы для векторного произведения:

После этого произведение приняло вид

Получен кватернион, первая часть которого, взятая со знаком минус, получила теперь название скалярного произведения двух векторов:

а вторая, векторная часть получила название векторного произведения .

Нетрудно проверить, что для произведения двух кватернионов пятый основной закон выполняется, так что кватернионы, а следовательно, и их частные случаи - векторы, имеют право на существование в качестве обобщенных комплексных чисел (с некоторыми ограничениями - произведение двух векторов есть кватернион).

То обстоятельство, что вектор можно рассматривать как некоторое обобщенное число, позволяет упростить ряд операций с силами, если доказать, что сила есть вектор.

Типическим вектором - комплексным числом является так называемый радиус-вектор, т. е. отрезок, имеющий размерность длины, проведенный из начала координат к заданной точке, координаты которой х, у, z :

Приращение этого вектора является тоже вектором. Если разделить его на скалярную величину dt , то векторная природа его не изменится: направление остается таким же и изменяется лишь величина. Это показывает, что

где v - скорость, т. е. вектор.

Аналогично покажем, что ускорение а тоже является вектором. Но по второму закону Ньютона сила равняется произведению вектора ускорения на массу, являющуюся скаляром. Тогда сила тоже является вектором и подчиняется всем правилам действия над ними, в том числе и сложению. Таким образом, закон параллелограмма сил доказывать не надо; он уже доказан тем, что сила является вектором.

Не надо, однако, считать, что все величины, которые складываются по правилу сложения векторов, тоже являются векторами. Дело в том, что координаты радиуса вектора изменяются при изменении осей координат, хотя вектор как геометрический образ остается неизменным. Таким образом, координаты вектора (проекции силы) при изменении координатных осей (при том же начале) должны изменяться так же, как и координаты точки. Это характерно для проекций силы, но для вектора - момента силы этого нет.

Отложим от начала координат отрезок, изображающий вектор-момент, и отметим геометрические координаты его конца. Если изменить направление координатных осей на прямо противоположные, то проекции г и F изменят знаки, но проекции выражения останутся такими же. Это показывает, что вектор-момент есть псевдовектор, а если так, то закон параллелограмма моментов надо доказывать; это и делается в теореме Вариньона.

Обычно векторное изображение применяют только к свободным векторам, но можно обобщить его и для скользящих векторов.

Становление на Путь означает придание развитию сознанию , упорядоченного, векторного характера. Другими словами, тогда, когда сознание перестает «метаться» из стороны в сторону, от игры к игре, от роли к роли, и начинает поступательно перетекать от одного, менее упорядоченного, менее синтетичного состояния, к другому – более , можно говорить о том, что оно находится на Пути развития.

Для того, чтобы этот Путь был более эффективным, сознание должно уметь распознавать эту самую степень своей синтетичности, степень своей гармоничности, внутренней непротиворечивости и . С этой целью Магический миф вводит понятие как «мерила» развитости сознания, очевидного свидетельства степени соответствия текущего состояния осознания своей настоящей природе. Соответственно, именно уровень Силы и является тем «измеряемым» параметром, ориентируясь на который, маг может (и должен) корректировать свой Путь, чтобы достичь максимальной эффективности самореализации.

Это означает, что говорить о «развитии сознания» — и означает говорить о «накоплении Силы», и наоборот – накопление Силы отражает реализованность сознания. Именно таким образом удобно понимать все магические разговоры о «Силе», путях ее приобретения и с нею. Вся мага, направленная, в конечном итоге, конечно, на расширение и его сознания из пут и относительности, потому и картографируется градиентами Силы, что именно накопление Силы осознания точно отражает степень его свободы.

Маг не « » за Силой в обычном понимании этого слова, Маг – стяжает осознанность , и чем более осознанно и упорядоченно существование мага – тем о большем уровне его Силы можно говорить.

Именно поэтому так важно различать направления токов Силы, определять «силовой результат» каждого действия мага. « » оказывается простым и удобным критерием развития, и культивирование этого чувства становится важным подспорьем на Пути.

Проводя Ритуал (а мы говорили, что Ритуалом в широком смысле этого слова является любое структурированное, направленное и осознанное действие ), маг должен определять, какой вектор придает его сознанию это действие, направлено ли оно на гармонизацию его сознания, на его реализацию, или – уводит в сторону (или вниз) от этого состояния.

Таким образом, критерием успешности действия для мага оказывается не только и даже не столько достижение запланированного результата, сколько – накопление Силы, повышение осознанности. С этой точки зрения понятно, что если маг не достиг результата, то есть – на формальном уровне – , но – извлек из него максимальный урок, позволивший перегруппировать сознание так, чтобы в дальнейшем действовать более эффективно – конечный результат действия положительный: поражение превращается в победу. И наоборот, если результат был достигнут, то есть, казалось бы, маг одержал победу, но эта победа привела к гордыне, или расслабленности, или другим способом снизила его дальнейшую эффективность – общий результат оказывается негативным: победа становится поражением.

Более того, степень гармоничности сознания меняется не только в результате действия и может оцениваться не только по его конечному влиянию, она меняется и в ходе самого действия , и определение направления ее изменения также может быть весьма полезным. К примеру, в ходе вырезания Рун, или создания Гальдрастафов, Агисхъяльмов и других амулетов или талисманов слежение за своим состоянием может быть весьма полезным критерием успешности самого действия: если по ходу работы сознание оператора гармонизируется, значит – амулет/талисман получится «правильным», успешным; если же в процессе ритуала в сознание закрадываются деструктивные элементы, значит, скорее всего, в самом ритуале допущена ошибка, его нужно пересмотреть и «отредактировать». В то же время, важно не спутать временную «дестабилизацию» сознания, которая часто происходит в кульминации ритуала, с его нарушением, как и не принять удовольствие от силы за признак ее прибытия.

Физическая величина «» имеет прямое отношение к вращательному движению и входит в состав одного важного соотношения, называемого уравнением моментов. Но давайте разбираться по порядку. Для начала нам необходимо провести ряд построений, без которых определение момента вектора силы будет неясным.Пусть существует некоторая точка О . Относительно этой точки, называемой началом или полюсом , мы будем рассматривать (а правильнее будет сказать находить или определять) момент вектора силы (моментом силы ), а так же момент импульса (момент импульса ).

Построим из обозначенного нами полюса (точки О ) радиус вектор к точке приложения силы . Обратите внимание на рисунок приведенный выше — он иллюстрирует все наши рассуждения.

Момент вектора силы — Определение

Выполнив все вышеперечисленное, мы можем приступить к нахождению момента вектора силы (момента ). Итак, момент вектора силы это вектор, получаемый при векторном перемножении и . Обозначать момент силы мы будем через . Ниже приведена формула, соответствующая приведенному определению.

Как видно из формулы, направление вектора зависит от положения выбранного полюса (может быть изменено направление вектора ) и от направления вектора силы .

Момента вектора силы — Свойства

Докажем справедливость первого пункта. Длина вектора , полученного нами, равна площади параллелограмма OABC (школьный курс математики ). Если мы сместим вектор силы вдоль линии ее действия (смотри рисунок в выше ), то мы получим параллелограмм ОА’B‘C, площадь которого равна площади первого параллелограмма. А дочитав правила векторного умножения до конца, вы поймете, что и направление вектора осталось прежним.
Справедливость второго пункта можно доказать вспомнив еще одно свойство векторного умножения — . Заменив векторные произведения их значениями, мы получим математическое выражение для второго свойства момента вектора сил.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 СТАТИКА, раздел механики, предметом которого являются материальные тела, находящиеся в состоянии покоя при действии на них внешних сил. В широком смысле слова статика это теория равновесия любых тел твердых, жидких или газообразных. В более узком понимании данный термин относится к изучению равновесия твердых тел, а также нерастягивающихся гибких тел тросов, ремней и цепей. Равновесие деформирующихся твердых тел рассматривается в теории упругости, а равновесие жидкостей и газов в гидроаэромеханике. См. ГИДРОАЭРОМЕХАНИКА. Историческая справка. Статика самый старый раздел механики; некоторые из ее принципов были известны уже древним египтянам и вавилонянам, о чем свидетельствуют построенные ими пирамиды и храмы. Среди первых создателей теоретической статики был Архимед (ок до н.э.), который разработал теорию рычага и сформулировал основной закон гидростатики. Родоначальником современной статики стал голландец С.Стевин (), который в 1586 сформулировал закон сложения сил, или правило параллелограмма, и применил его в решении ряда задач. Основные законы. Законы статики вытекают из общих законов динамики как частный случай, когда скорости твердых тел стремятся к нулю, но по историческим причинам и педагогическим соображениям статику часто излагают независимо от динамики, строя ее на следующих постулируемых законах и принципах: а) законе сложения сил, б) принципе равновесия и в) принципе действия и противодействия. В случае твердых тел (точнее, идеально твердых тел, которые не деформируются под действием сил) вводится еще один принцип, основанный на определении твердого тела. Это принцип переносимости силы: состояние твердого тела не изменяется при перемещении точки приложения силы вдоль линии ее действия. Сила как вектор. В статике силу можно рассматривать как тянущее или толкающее усилие, имеющее определенные направление, величину и точку приложения. С математической точки зрения, это вектор, а потому ее можно представить направленным отрезком прямой, длина которого пропорциональна величине силы. (Векторные величины, в отличие от других величин, не имеющих направления, обозначаются полужирными буквами.) Параллелограмм сил. Рассмотрим тело (рис. 1,а), на которое действуют силы F 1 и F 2, приложенные в точке O и представленные на рисунке направленными отрезками OA и OB. Как показывает опыт, действие сил F 1 и F 2 эквивалентно одной силе R, представленной отрезком OC. Величина силы R равна длине диагонали параллелограмма, построенного на векторах OA и OB как его сторонах; ее направление показано на рис. 1,а. Сила R называется равнодействующей сил F 1 и F 2. Математически это записывается в виде R = F 1 + F 2, где сложение понимается в геометрическом смысле слова, указанном выше. Таков первый закон статики, называемый правилом параллелограмма сил.

2 Равнодействующая сила. Вместо того чтобы строить параллелограмм OACB, для определения направления и величины равнодействующей R можно построить треугольник OAC, перенеся вектор F 2 параллельно самому себе до совмещения его начальной точки (бывшей точки O) c концом (точкой A) вектора OA. Замыкающая сторона треугольника OAC будет, очевидно, иметь ту же величину и то же направление, что и вектор R (рис. 1,б). Такой способ отыскания равнодействующей можно обобщить на систему многих сил F 1, F 2,..., F n, приложенных в одной и той же точке O рассматриваемого тела. Так, если система состоит из четырех сил (рис. 1,в), то можно найти равнодействующую сил F 1 и F 2, сложить ее с силой F 3, затем сложить новую равнодействующую с силой F 4 и в результате получить полную равнодействующую R. Равнодействующая R, найденная таким графическим построением, представляется замыкающей стороной многоугольника сил OABCD (рис. 1,г). Данное выше определение равнодействующей можно обобщить на систему сил F 1, F 2,..., F n, приложенных в точках O 1, O 2,..., O n твердого тела. Выбирается точка O, называемая точкой приведения, и в ней строится система параллельно перенесенных сил, равных по величине и направлению силам F 1, F 2,..., F n. Равнодействующая R этих параллельно перенесенных векторов, т.е. вектор, представленный замыкающей стороной многоугольника сил, называется равнодействующей сил, действующих на тело (рис. 2). Ясно, что вектор R не зависит от выбранной точки приведения. Если величина вектора R (отрезок ON) не равна нулю, то тело не может находиться в покое: в соответствии с законом Ньютона всякое тело, на которое действует сила, должно двигаться с ускорением. Таким образом, тело может находиться в состоянии равновесия только при условии, что равнодействующая всех сил, приложенных к нему, равна нулю. Однако это необходимое условие нельзя считать достаточным тело может двигаться, когда равнодействующая всех приложенных к нему сил равна нулю.

3 В качестве простого, но важного примера, поясняющего сказанное, рассмотрим тонкий жесткий стержень длиной l, вес которого пренебрежимо мал по сравнению с величиной приложенных к нему сил. Пусть на стержень действуют две силы F и F, приложенные к его концам, равные по величине, но противоположно направленные, как показано на рис. 3,а. В этом случае равнодействующая R равна F F = 0, но стержень не будет находиться в состоянии равновесия; очевидно, он будет вращаться вокруг своей средней точки O. Система двух равных, но противоположно направленных сил, действующих не по одной прямой, представляет собой «пару сил», которую можно характеризовать произведением величины силы F на «плечо» l. Значимость такого произведения можно показать путем следующих рассуждений, которые иллюстрируют правило рычага, выведенное Архимедом, и приводят к заключению об условии вращательного равновесия. Рассмотрим легкий однородный жесткий стержень, способный поворачиваться вокруг оси в точке O, на который действует сила F 1, приложенная на расстоянии l 1 от оси, как показано на рис. 3,б. Под действием силы F 1 стержень будет поворачиваться вокруг точки O. Как нетрудно убедиться на опыте, вращение такого стержня можно предотвратить, приложив некоторую силу F 2 на таком расстоянии l 2, чтобы выполнялось равенство F 2 l 2 = F 1 l 1.

4 Таким образом, вращение можно предотвратить бесчисленными способами. Важно лишь выбрать силу и точку ее приложения так, чтобы произведение силы на плечо было равно F 1 l 1. Это и есть правило рычага. Нетрудно вывести условия равновесия системы. Действие сил F 1 и F 2 на ось вызывает противодействие в виде силы реакции R, приложенной в точке O и направленной противоположно силам F 1 и F 2. Согласно закону механики о действии и противодействии, величина реакции R равна сумме сил F 1 + F 2. Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на систему, равна F 1 + F 2 + R = 0, так что отмеченное выше необходимое условие равновесия выполняется. Сила F 1 создает крутящий момент, действующий по часовой стрелке, т.е. момент силы F 1 l 1 относительно точки O, который уравновешивается действующим против часовой стрелки моментом F 2 l 2 силы F 2. Очевидно, что условием равновесия тела является равенство нулю алгебраической суммы моментов, исключающее возможность вращения. Если сила F действует на стержень под углом, как показано на рис. 4,а, то эту силу можно представить в виде суммы двух составляющих, одна из которых (F p), величиной F cos, действует параллельно стержню и уравновешивается реакцией опоры F p, а другая (F n), величиной F sin, направлена под прямым углом к рычагу. В этом случае крутящий момент равен Fl sin ; он может быть уравновешен любой силой, которая создает равный ему момент, действующий против часовой стрелки. Чтобы проще было учитывать знаки моментов в тех случаях, когда на тело действует много сил, момент силы F относительно любой точки O тела (рис. 4,б) можно рассматривать как вектор L, равный векторному произведению r F вектора положения r на силу F. Таким образом, L = r F. Нетрудно показать, что если на твердое тело действует система сил, приложенных в точках O 1, O 2,..., O n (рис. 5), то эту систему можно заменить равнодействующей R сил F 1, F 2,..., F n, приложенной в любой точке O тела, и парой сил L, момент которых равен сумме + . Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно приложить в точке O систему пар равных, но противоположно направленных сил F 1 и F 1 ; F 2 и F 2 ;...; F n и F n, что, очевидно, не изменит состояния твердого тела.

5 Но сила F 1, приложенная в точке O 1, и сила F 1, приложенная в точке O, образуют пару сил, момент которых относительно точки O равен r 1 F 1. Точно так же силы F 2 и F 2, приложенные в точках O 2 и O соответственно, образуют пару с моментом r 2 F 2, и т.д. Суммарный момент L всех таких пар относительно точки O дается векторным равенством L = + . Остальные силы F 1, F 2,..., F n, приложенные в точке O, в сумме дают равнодействующую R. Но система не может находиться в равновесии, если величины R и L отличны от нуля. Следовательно, условие равенства нулю одновременно величин R и L является необходимым условием равновесия. Можно показать, что оно же является и достаточным, если тело первоначально покоится. Итак, задача о равновесии сводится к двум аналитическим условиям: R = 0 и L = 0. Эти два уравнения представляют собой математическую запись принципа равновесия. Теоретические положения статики широко применяются при анализе сил, действующих на конструкции и сооружения. В случае непрерывного распределения сил суммы, которые дают результирующий момент L и равнодействующую R, заменяются интегралами и в соответствии с обычными методами интегрального исчисления. См. также МЕХАНИКА; ПРОЧНОСТНОЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ. ЛИТЕРАТУРА Смокотин Г.Я. Курс лекций по статике. Томск, 1984 Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов. М., 1986 Бабенков И.С. Основы статики и сопротивления материалов. М., 1988

Историческая справка. Статика самый старый раздел механики; некоторые из ее принципов были известны уже древним египтянам и вавилонянам, о чем свидетельствуют построенные ими пирамиды и храмы (и дошедшие

I. Введение. Введение в механику. Разделы теоретической механики. Предмет теоретической механики Современная техника ставит перед инженерами множество задач, решение которых связано с исследованием так

Техническая механика. Лекция Момент силы относительно центра как вектор. Какое-либо кинематическое состояние тел, имеющих точку или ось вращения, можно описать моментом силы, характеризующим вращательный

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1.1. Статика. Статикой называется раздел механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил. Абсолютно

Вектор-момент силы относительно точки m o (F) Вектор-моментом силы F относительно точки называется m o (F) = r F Как известно, результат векторного произведения векторов перпендикулярен каж- F r дому из

6.1. Силы, действующие на звенья механизмов 6.1.1. Классификация сил. Задачи силового анализа Силы и моменты, действующие на звенья механизмов принято делить на внешние и внутренние. К внешним относятся:

СТАТИКА ЛЕКЦИЯ 1 Введение в статику. Система сходящихся сил. 1. Основные понятия и аксиомы статики.. Связи и реакции связей. 3. Система сходящихся сил. 4. Разложение вектора силы по координатным осям.

Оглавление Момент силы относительно оси... Произвольная пространственная система сил... 3 Определение главного вектора и главного момента пространственной системы сил... 3 Центральная ось системы... 4

СТАТИКА (определения и теоремы) Основные понятия статики Статика Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия механических систем под действием сил и операции преобразования систем сил в эквивалентные.

Оглавление Принцип Германа Эйлера - Даламбера... 2 Сила инерции... 2 Принцип Даламбера для материальной точки... 2 Принцип Даламбера для системы материальных точек... 3 Принцип Даламбера для несвободной

TTÜ VIUMAA KOLLEDŽ Ehitus ja Tootmistehnika lektorat Üliõpilane: Õpperühm: Töö nr. ja nimetus: 6 Сложение сил Tehtud: Arvestatud: Tehniline füüsika Приборы:............ Теория Сила это мера взаимодействия

Введение Материя и ее основные свойства. Задачи и методы физики. Роль абстракций и моделей в физике. Физические величины и их измерение Структура механики Механика Механика Кинематика Материальной точки

1 Задачи механики. Материальная точка и абсолютно твердое тело. 3 Способы описания движения материальной точки. 4 Тангенциальное, нормальное и полное ускорения. Структура механики Механика Механика Кинематика

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. СТАТИКА Статика это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил Равновесие

ЛЕКЦИЯ 5 ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ. АКСИОМЫ ДИНАМИКИ 1. Перемещения точек несвободной системы Рис. 5.1 Предположим, что имеется система материальных точек P, ν = 1, 2, N. Начало

Лекция СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Введение Предмет и Модели механики Классическая или Ньютонова механика является разделом физики, в котором изучаются основные законы механического взаимодействия и движения

ЛЕКЦИЯ 4 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ КИНЕМАТИКИ СИСТЕМЫ. СВЯЗИ 1. Кинематика сложного движения тела Прошлая лекция закончилась рассмотрением кинематических уравнений Эйлера. Была рассмотрена

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» В. П. Нестеренко, А. И. Зитов, С. Л. Катанухина,

5 Лекция 4 Динамика вращательного движения твердого тела План лекции гл4 6-9 Момент инерции Момент силы 3 Основное уравнение динамики вращательного движения Момент инерции При рассмотрении вращательного

ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, то линии действия этих сил лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке. ТЕОРЕМА О ТРЕХ СИЛАХ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 4 ДВИЖЕНИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ Лектор: Батяев Евгений Александрович Батяев Е. А. (НГУ) ЛЕКЦИЯ 4 Новосибирск, 2016 г. 1 / 18 Материальная

Тема 1.4. Динамика вращательного движения План 1. Момент импульса частицы. Момент силы 3. Уравнение моментов 4. Собственный момент импульса 5. Динамика твердого тела 6. Момент инерции 7. Кинетическая энергия

Итоговый тест, Прикладная механика (теормех) (2523) 1 (60c) Наука о общих законах механического движения и равновесия материальных тел под действием сил 1) общая физика 2) теоретическая механика 3) сопротивление

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СМРСКИЙ ГОСУДРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Механика» С Т Т

ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ (лекции 4-5) ЛЕКЦИЯ 4, (раздел 1) (лек 7 «КЛФ, ч1») Кинематика вращательного движения 1 Поступательное и вращательное движение В предыдущих лекциях мы познакомились с механикой материальной

44 Лекция 4 Статика это часть механики, изучающая условия равновесия тел. Условия эти, очевидно, являются следствием более общих законов динамики, ибо, зная, как движется система материальных точек под

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Наиболее общим разделом механики является динамика, имеющая особое значение для решения многих важных задач в различных областях техники Динамика

5. Динамика вращательного движения твердого тела Твердое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются в процессе движения. При вращательном движении твердого тела все его

ЛЕКЦИЯ 7 ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Рис. 7.1 Пусть система состоит из точек P, ν = 1, 2, N. Начало отсчёта обозначим как O, радиус-вектор точки P

Лекция 10 Механика твердого тела. Твердое тело как система материальных точек. Поступательное движение абсолютно твердого тела. Момент силы, момент инерции. Уравнение динамики вращательного движения тела

Министерство образования и науки Российской Федерации Ивановский государственный химико-технологический университет С.Г. Сахарова, В.П. Зарубин, М.Ю. Колобов ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. Статика Учебное пособие

Динамика вращательного движения Лекция 1.4. План лекции 1. Динамика вращения точки и тела вокруг постоянной оси, понятие о моменте инерции материальной точки и тела.. Изменение момента инерции тела при

Раздел I Физические основы механики Механика часть физики, которая изучает закономерности механического движения и причины, вызывающие или изменяющие это движение Механическое движение это изменение с

Тема 2. Динамика материальной точки и твердого тела 2.1. Основные понятия и величины динамики. Законы Ньютона. Инерциальные системы отсчета (ИСО). Динамика (от греческого слова dynamis сила) раздел механики,

Лекция 3 Вектора и линейные операции над ними. 1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых

1..1. Законы Ньютона. Принцип относительности Галилея. Опыт показывает, что при определенном выборе системы отсчета справедливо следующее утверждение: свободное тело, т.е. тело, не взаимодействующее с

0.5 setgray0 0.5 setgray1 1 Лекция 3 ВЕКТОРЫ 1. Определение вектора. Свободные и скользящие векторы Дадим определение направленного отрезка. Определение 1. Отрезок, концы которого упорядочены, называется

1 Министерство образования и науки Российской Федерации НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО- СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ННГАСУ) Кафедра теоретической механики ИНТЕРНЕТ-ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2 СЕМЕСТР ЛЕКЦИЯ 3 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА (ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ) ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ РАБОТА СИЛ ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА Лектор:

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный профессионально-педагогический

Занятие 3. Основные принципы динамики. Силы: тяжести, реакции, упругости Вариант 3... На тело массой 0 кг действуют несколько сил, равнодействующая которых постоянна и равна 5 Н. Относительно инерциальной

Тест: "Техническая механика "Статика". Задание #1 Что изучает раздел теоретической механики "Статика"? Выберите один из 3 вариантов ответа: 1) + Равновесие тел 2) - Движение тел 3) - Свойства тел Что такое

Лекция 5 1. Динамика вращательного движения материальной точки. Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела 3. Алгоритм определения моментов инерции твердых тел (примеры) 1. Динамика вращательного

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет УПИ» А А Мироненко ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ДИНАМИКА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ ПОДШИПНИКОВ

Глава 6 КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ 6.1. КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ НА ПРЯМОЙ 6.1.1. Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном

5.3. Законы Ньютона При рассмотрении движении материальной точки в рамках динамики решаются две основные задачи. Первая или прямая задача динамики заключается в определении системы действующих сил по заданным

10 класс 1 1. Механика Кинематика Вопрос Ответ 1 Что такое физика? Физика - это наука, занимающаяся изучением простейших и вместе с тем наиболее общих свойств окружающего нас материального мира. 2 Что

ЛЕКЦИЯ 6 МОМЕНТ СИЛЫ. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА СИЛ СИСТЕМЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ. ИДЕАЛЬНЫЕ СВЯЗИ. ЦЕНТР МАСС 1. Главный вектор системы сил Рис. 6.1 Предположим, что имеется система материальных

Лекция 7 Скалярное произведение векторов и его приложения. Векторное произведение векторов и его приложения. Определение 1. Углом между векторами ~a 6= ~ 0 и ~ b 6= ~ 0 называется наименьший угол между

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ Раздел механики, в котором изучается равновесие тел, называется статикой Равновесным называется состояние тела, неизменное во времени, т е равновесие это такое состояние тела, при котором

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013 1 ЛЕКЦИЯ 5 Построение эпюр внутренних силовых факторов для основных видов деформации бруса 1 Эпюры и основные правила их построения Определение Эпюрами

Лекция 9 Динамика относительного движения точки. Принцип Даламбера для материальной точки. Принцип Даламбера служит для определения динамических реакций связей при помощи управлений равновесия статики.

Ôèçè åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Работа переменной силы. Масса и заряд материальной кривой. Статические моменты и центр тяжести материальной кривой и плоской

Лекция 7 Работа. Теорема об изменении кинетической энергии. Консервативные силы. Потенциальная энергия частицы в потенциальном поле. Примеры: упругая сила, гравитационное поле точечной массы. Работа. Теорема

ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные

ЛЕКЦИЯ 13 ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ СТАТИКИ. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 1. Общее уравнение динамики. Принцип Даламбера Лагранжа В механике рассматриваются

Контрольные вопросы по теоретической меанике ТТИК 1. сновные понятия и аксиомы статики 1.1. Наодитсся ли в состоянии равновесия тело, если оно с постоянной скоростью движется по прямой или равномерно вращается

1. ВВЕДЕНИЕ Физика это наука о наиболее общих свойствах и формах движения материи. В механической картине мира под материей понималось вещество, состоящее из частиц, вечных и неизменных. Основные законы,

Л МЕХАНИКА Материальная точка Кинематика Физическая реальность и ее моделирование Система отсчета СК+ часы, СО К Абсолютно твердое тело Механика: ньютоновская релятивистская 1 Механика часть физики, которая

Вектор-момент силы относительно точки m o (F) Вектор-моментом силы F относительно точки называется m 0 (F)=r F Как известно, результат векторного произведения векторов перпендикулярен каж- F r дому из

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ

Закон сохранения импульса Закон сохранения импульса Замкнутая (или изолированная) система - механическая система тел, на которую не действуют внешние силы. d v " " d d v d... " v " v v "... " v... v v

Министерство образования Российской Федерации Московский государственный университет печати П.Н. Силенко ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Конспект лекций Допущено УМО по образованию в области полиграфии и книжного

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА СТАТИКА Задание 1 І. Какое движение, является простейшим? 1. Молекулярное 2. Механическое 3. Движение электронов. ІІ. При исследовании движения кузова автомобиля по прямолинейному

12 Лекция 2. Динамика материальной точки. гл.2 План лекции 1. Законы Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения. 2. Виды взаимодействий. Силы упругости и трения. 3. Закон Всемирного

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «МЕХАНИКА» ДИНАМИКА