Мат моделирование в. Пример математической модели. Определение, классификация и особенности

Пример 1.5.1.

Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c i – спрос населения на i -й продукт (i =1,...,n ); a ij – количество i -го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии (i =1,...,n ; j =1,...,n );

х i – объем выпуска i -го продукта (i =1,...,n ); совокупность с =(c 1 ,..., c n ) называется вектором спроса, числа a ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х 1 ,..., х n ) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х j количества j-го товара идет a ij · х j количества i -го товара.

Тогда сумма a i1 · х 1 +...+ a in · х n показывает ту величину i -го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х 1 ,..., х n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х 1 ,...,х n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (
) -матрицаА называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:х-с=Ах или

(1.6)

Мы получили классическую модель «Затраты – выпуск », автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.5.2.

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б ) и мазут (М ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III : 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х i – количество использованияi -го технологического процесса(i=1,2,3) . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута)известны .

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для которого выручка завода равна(32х 1 +15х 2 +12х 3 ) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А :

для сорта В :,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I ,II ,III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , чтобы максимизировать

f(x) =32х 1 +15х 2 +12х 3

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(1.7)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1.7.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример1.5.3.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b .

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; а j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль отj -го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины :

y j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j .

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

Таким образом, х i - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг видаj .

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях

,
,
,
. (1.8)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.8.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример1.5.4.

На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльр j , если же он не будет пользоваться спросом - убытокq j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своего предпочтения. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n 2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i -й тип товара (i -ю строку), а население выбирает j -й тип товара (j- ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

(1.9)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (1.9.) является примером игровых моделей принятия решения.

Математическая модел ь – это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его математической моделью и затем изучают последнюю.

Определения.

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А. А. Ляпунову: Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система:

находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом;

способная замещать его в определённых отношениях;

дающая при её исследовании, в конечном счёте, информацию о самом моделируемом объекте.

По учебнику Советова и Яковлева: «модель - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

По Самарскому и Михайлову, математическая модель – это «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства: законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Существует в триадах «модель-алгоритм-программа». Создав триаду «модель- алгоритм-программа», исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в пробных вычислительных экспериментах. После того, как адекватность триады исходному объекту установлена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта.

По монографии Мышкиса: «Перейдём к общему определению. Пусть мы собираемся исследовать некоторую совокупность S свойств реального объекта a с

помощью математики. Для этого мы выбираем „математический объект“ a" - систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого и т. д.,- исследование которого средствами математики и должно ответить на поставленные вопросы о свойствах S. В этих условиях a" называется математической моделью объекта a относительно совокупности S его свойств».

По Севостьянову А. Г. : «Математической моделью называется совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств и т.п., описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе».

Несколько менее общее определение математической модели, основанное на идеализации «вход - выход - состояние», заимствованной из теории автоматов, даёт Wiktionary: «Абстрактное математическое представление процесса, устройства или теоретической идеи; оно использует набор переменных, чтобы представлять входы, выходы и внутренние состояния, а также множества уравнений и неравенств для описания их взаимодействия.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: «Уравнение, выражающее идею.»

Формальная классификация моделей.

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий:

Линейные или нелинейные модели; Сосредоточенные или распределённые системы; Детерминированные или стохастические; Статические или динамические; Дискретные или непрерывные.

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные, в другом – распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта.

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель. Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель, умозрительная модель или предмодель. При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели. Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела, идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий, создание содержательных моделей резко усложняется.

В работе Р. Пайерлса дана классификация математических моделей, используемых в физике и, шире, в естественных науках. В книге А. Н. Горбаня и Р. Г. Хлебопроса эта классификация проанализирована и расширена. Эта классификация сфокусирована, в первую очередь, на этапе построения содержательной модели.

Эти модели «представляют собой пробное описание явления, причем автор либо верит в его возможность, либо считает даже его истинным». По Р. Пайерлсу это, например, модель Солнечной системы по Птолемею и модель Коперника, модель атома Резерфорда и модель Большого Взрыва.

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман:

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только временной паузой: статус модели первого типа может быть только временным.

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус временных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до

статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира, проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений. Среди них модели линейного отклика. Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома.

Если мы используем модель идеального газа для описания достаточно разреженных газов, то это - модель типа 3. При более высоких плотностях газа тоже полезно представлять себе более простую ситуацию с идеальным газом для качественного понимания и оценок, но тогда это уже тип 4.

В модели типа 4 отбрасываются детали, которые могут заметно и не всегда контролируемо повлиять на результат. Одни и те же уравнения могут служить моделью типа 3 или 4 - это зависит от явления, для изучения которого используется модель. Так, если модели линейного отклика применяются при отсутствии более сложных моделей, то это уже феноменологические линейные модели, и относятся они к следующему типу 4.

Примеры: применение модели идеального газа к неидеальному, уравнение состояния Ван-дер-Ваальса, большинство моделей физики твердого тела, жидкостей и ядерной физики. Путь от микроописания к свойствам тел, состоящих из большого числа частиц, очень длинен. Приходится отбрасывать многие детали. Это приводит к моделям 4-го типа.

Эвристическая модель сохраняет лишь качественное подобие реальности и даёт предсказания только «по порядку величины». Типичный пример - приближение средней длины свободного пробега в кинетической теории. Оно даёт простые формулы для коэффициентов вязкости, диффузии, теплопроводности, согласующиеся с реальностью по порядку величины.

Но при построении новой физики далеко не сразу получается модель, дающая хотя бы качественное описание объекта - модель пятого типа. В этом случае часто используют модель по аналогии, отражающую действительность хоть в какой-нибудь черте.

Р. Пайерлс приводит историю использования аналогий в первой статье В. Гейзенберга о природе ядерных сил. «Это произошло после открытия нейтрона, и хотя сам В. Гейзенберг понимал, что можно описывать ядра состоящими из нейтронов и протонов, он не мог все же избавиться от мысли, что нейтрон должен в конечном счете состоять из протона и электрона. При этом возникала аналогия между взаимодействием в системе нейтрон - протон и взаимодействием атома водорода и протоном. Эта-то аналогия и привела его к заключению, что должны существовать обменные силы взаимодействия между нейтроном и протоном, которые аналогичны обменным силам в системе H − H , обусловленным переходом электрона между двумя протонами. … Позднее было все-таки доказано существование обменных сил взаимодействия между нейтроном и протоном, хотя ими не исчерпывалось полностью

взаимодействие между двумя частицами… Но, следуя все той же аналогии, В. Гейзенберг пришёл к заключению об отсутствии ядерных сил взаимодействия между двумя протонами и к постулированию отталкивания между двумя нейтронами. Оба последних вывода находятся в противоречии с данными более поздних исследований».

А. Эйнштейн был одним из великих мастеров мысленного эксперимента. Вот один из его экспериментов. Он был придуман в юности и, в конце концов, привел к построению специальной теории относительности. Предположим, что в классической физике мы движемся за световой волной со скоростью света. Мы будем наблюдать периодически меняющееся в пространстве и постоянное во времени электромагнитное поле. Согласно уравнениям Максвелла, этого быть не может. Отсюда юный Эйнштейн заключил: либо законы природы меняются при смене системы отсчета, либо скорость света не зависит от системы отсчета. Он выбрал второй - более красивый вариант. Другой знаменитый мысленный эксперимент Эйнштейна - Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена.

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского. Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m, прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины. Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука после чего воспользуемся вторым законом Ньютона, чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения:

где означает вторую производную от x по времени..

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений, которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение, поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности. В некотором приближении, такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку

отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная.

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия.

Жёсткие и мягкие модели.

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, ε - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой, задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида

То есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением, мы получим затухающие колебания. Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей.

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности: принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U-образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных

тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация, после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача: структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку, как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера, - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический мост через реку Тей, конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача: известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту. Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента.

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику. Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Т.е. множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования.

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками, набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры.

Скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции. Она описывается дифференциальным уравнением

где α - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x = x0 e. Если рождаемость превосходит смертность, размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. Понятно, что в действительности этого не может происходить из-за ограниченности

ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестает быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель, которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста

где xs - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению xs , причем такое поведение структурно устойчиво.

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных: кролики и лисы. Пусть число кроликов x, число лис y. Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерра:

Эта система имеет равновесное состояние, когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора. Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым: малое изменение модели может привести к качественному изменению поведения. Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать. Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Что такое математическая модель?

Понятие математической модели.

Математическая модель - очень простое понятие. И очень важное. Именно математические модели связывают математику и реальную жизнь.

Говоря простым языком, математическая модель - это математическое описание любой ситуации. И всё. Модель может быть примитивной, может быть и суперсложной. Какая ситуация, такая и модель.)

В любом (я повторяю - в любом! ) деле, где нужно чего-нибудь посчитать да рассчитать - мы занимаемся математическим моделированием. Даже если и не подозреваем об этом.)

Р = 2·ЦБ + 3·ЦМ

Вот эта запись и будет математической моделью расходов на наши покупки. Модель не учитывает цвет упаковки, срок годности, вежливость кассиров и т.п. На то она и модель, а не реальная покупка. Но расходы, т.е. то, что нам надо - мы узнаем точно. Если модель правильная, конечно.

Представлять, что такое математическая модель полезно, но этого мало. Самое главное - уметь эти модели строить.

Составление (построение) математической модели задачи.

Составить математическую модель - это значит, перевести условия задачи в математическую форму. Т.е. превратить слова в уравнение, формулу, неравенство и т.д. Причём превратить так, чтобы эта математика строго соответствовала исходному тексту. Иначе у нас получится математическая модель какой-то другой, неведомой нам задачи.)

Говоря конкретнее, нужно

Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической модели любой задачи - невозможно.

Но можно выделить три основных момента, на которые нужно обратить внимание.

1. В любой задаче есть текст, как ни странно.) В этом тексте, как правило, имеется явная, открытая информация. Числа, значения и т.п.

2. В любой задаче имеется скрытая информация. Это текст, который предполагает наличие дополнительных знаний в голове. Без них - никак. Кроме того, математическая информация частенько скрывается за простыми словами и... проскакивает мимо внимания.

3. В любой задаче должно быть дана связь данных между собой. Эта связь может быть дана открытым текстом (что-то равно чему-то), а может быть и скрыта за простыми словами. Но простые и понятные факты частенько упускаются из виду. И модель никак не составляется.

Сразу скажу: чтобы применить эти три момента, задачу приходится читать (и внимательно!) несколько раз. Обычное дело.

А теперь - примеры.

Начнём с простой задачки:

Петрович вернулся с рыбалки и гордо предъявил семье улов. При ближайшем рассмотрении оказалось, что 8 рыбин родом из северных морей, 20% всех рыбин - из южных, а из местной реки, где рыбачил Петрович - нет ни одной. Сколько всего рыбин купил Петрович в магазине "Морепродукты"?

Все эти слова нужно превратить в какое-то уравнение. Для этого нужно, повторюсь, установить математическую связь между всеми данными задачи.

С чего начинать? Сначала вытащим из задачи все данные. Начнём по порядочку:

Обращаем внимание на первый момент.

Какая здесь явная математическая информация? 8 рыбин и 20%. Не густо, да нам много и не надо.)

Обращаем внимание на второй момент.

Ищем скрытую информацию. Она здесь есть. Это слова: "20% всех рыбин ". Здесь нужно понимать, что такое проценты и как они считаются. Иначе задача не решается. Это как раз та дополнительная информация, которая должна быть в голове.

Здесь ещё имеется математическая информация, которую совершенно не видно. Это вопрос задачи: "Сколько всего рыбин купил..." Это ведь тоже какое-то число. И без него никакая модель не составится. Поэтому обозначим это число буквой "х". Мы пока не знаем, чему равен икс, но такое обозначение очень нам пригодится. Подробнее, что брать за икс и как с ним обращаться, написано в уроке Как решать задачи по математике? Вот так сразу и запишем:

х штук - общее количество рыб.

В нашей задаче южные рыбы даны в процентах. Надо их перевести в штуки. Зачем? Затем, что в любой задаче модели надо составлять в однотипных величинах. Штуки - так всё в штуках. Если даны, скажем часы и минуты - всё переводим во что-нибудь одно - или только часы, или только минуты. Не суть важно во что. Важно, чтобы все величины были однотипными.

Возвращаемся к раскрытию информации. Кто не знает, что такое процент, никогда не раскроет, да... А кто знает, тот сразу скажет, что проценты здесь от общего числа рыб даны. А нам это число неизвестно. Ничего не выйдет!

Общее количество рыб (в штуках!) мы не зря буквой "х" обозначили. Посчитать южных рыб в штуках не получится, но записать-то мы сможем? Вот так:

0,2·х штук - количество рыб из южных морей.

Вот теперь мы скачали всю информацию с задачи. И явную, и скрытую.

Обращаем внимание на третий момент.

Ищем математическую связь между данными задачи. Эта связь настолько проста, что многие её не замечают... Такое часто бывает. Здесь полезно просто записать собранные данные в кучку, да и посмотреть, что к чему.

Что у нас есть? Есть 8 штук северных рыб, 0,2·х штук - южных рыб и х рыб - общее количество. Можно связать эти данные как-то воедино? Да легко! Общее количество рыб равно сумме южных и северных! Ну кто бы мог подумать...) Вот и записываем:

х = 8 + 0,2х

Вот это уравнение и будет математической моделью нашей задачи.

Прошу заметить, что в этой задаче нас не просят ничего складывать! Это мы сами, из головы, сообразили, что сумма южных и северных рыб даст нам общее количество. Вещь настолько очевидная, что проскакивает мимо внимания. Но без этой очевидности математическую модель не составить. Вот так.

Теперь уже можно применить всю мощь математики для решения этого уравнения). Именно для этого и составлялась математическая модель. Решаем это линейное уравнение и получаем ответ.

Ответ: х=10

Составим математичесскую модель ещё одной задачки:

Спросили Петровича: "А много ли у тебя денег?" Заплакал Петрович и отвечает: "Да всего чуть-чуть. Если я потрачу половину всех денег, да половину остатка, то всего-то один мешок денег у меня и останется..." Сколько денег у Петровича?

Опять работаем по пунктам.

1. Ищем явную информацию. Тут её не сразу и обнаружишь! Явная информация - это один мешок денег. Есть ещё какие-то половинки... Ну, это во втором пункте разберём.

2. Ищем скрытую информацию. Это половинки. Чего? Не очень понятно. Ищем дальше. Есть ещё вопрос задачи: "Сколько денег у Петровича?" Обозначим количество денег буквой "х" :

х - все деньги

И вновь читаем задачу. Уже зная, что у Петровича х денег. Вот тут уже и половинки сработают! Записываем:

0,5·х - половина всех денег.

Остаток будет тоже половина, т.е. 0,5·х. А половину от половины можно записать так:

0,5·0,5·х = 0,25х - половина остатка.

Теперь вся скрытая информация выявлена и записана.

3. Ищем связь между записанными данными. Здесь можно просто читать страдания Петровича и записывать их математически):

Если я потрачу половину всех денег ...

Запишем этот процесс. Всех денег - х. Половина - 0,5·х . Потратить - это отнять. Фраза превращается в запись:

х - 0,5·х

да половину остатка...

Отнимем ещё половину остатка:

х - 0,5·х - 0,25х

то всего-то один мешок денег у меня и останется...

А вот и равенство нашлось! После всех вычитаний один мешок денег остаётся:

х - 0,5·х - 0,25х = 1

Вот она, математическая модель! Это опять линейное уравнение, решаем, получаем:

Вопрос на соображение. Четыре - это чего? Рубля, доллара, юаня? А в каких единицах у нас деньги в математической модели записаны? В мешках! Значит, четыре мешка денег у Петровича. Тоже неплохо.)

Задачки, конечно, элементарные. Это специально, чтобы уловить суть составления математической модели. В некоторых задачах может быть гораздо больше данных, в которых легко запутаться. Это часто бывает в т.н. компетентностных задачах. Как вытаскивать математическое содержание из кучи слов и чисел показано на примерах

Ещё одно замечание. В классических школьных задачах (трубы заполняют бассейн, куда-то плывут катера и т.п.) все данные, как правило, подобраны очень тщательно. Там выполняются два правила:
- информации в задаче хватает для её решения,
- лишней информации в задаче не бывает.

Это подсказка. Если осталась какая-то неиспользованная в математической модели величина - задумайтесь, нет ли ошибки. Если данных никак не хватает - скорее всего, не вся скрытая информация выявлена и записана.

В компетентностных и прочих жизненных задачах эти правила строго не соблюдаются. Нету подсказки. Но и такие задачи можно решать. Если, конечно, потренироваться на классических.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для построения математической модели необходимо:

тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
выделить его наиболее существенные черты и свойства;
определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
корректировка модели;
использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.
требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола. Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник. В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой .

ИЛИ (надо завтра уточнить)

Пути решения мат. Модели:

1, Построение м. на основе законов природы (аналитич. Метод)

2. Формальный путь с помощью статистическ. Обработки и результатов измерения (статист. Подход)

3. Построение м. на основе модели элементов (сложных систем)

1, Аналитический – использование при достаточном изуч. Общей закономерности изв. Моделей.

2. эксперимент. При отсутствии информ.

3. Имитационная м. – исследует св-ва объекта сст. В целом.

Пример построения математической модели.

Математи́ческая моде́ль - это математическое представление реальности.

Математическое моделирование - это процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют объект его математической моделью и затем изучают последнюю. Связь математической модели с реальностью осуществляется с помощью цепочки гипотез, идеализаций и упрощений. С помощью математических методов описывается, как правило, идеальный объект, построенный на этапе содержательного моделирования.

Зачем нужны модели?

Очень часто при исследовании какого либо объекта возникают трудности. Сам оригинал порой бывает недоступен, или его использование не целесообразно, или привлечение оригинала требует больших затрат. Все эти проблемы можно решить с помощью моделирования. Модель в определенном смысле может заменить исследуемый объект.

Простейшие примеры моделей

§ Фотографию можно назвать моделью человека. Для того чтобы узнать человека, достаточно видеть его фотографию.

§ Архитектор создал макет нового жилого района. Он может движением руки переместить высотное здание из одной части в другую. В реальности это было бы не возможно.

Типы моделей

Модели можно разделить на материальные" и идеальные . выше приведенные примеры являются материальными моделями. Идеальные модели часто имеют знаковую форму. Реальные понятия заменяются при этом некоторыми знаками, котое можно легко зафиксировать на бумаге, в памяти компьютера и т.д.

Математическое моделирование

Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. При этом модели могу создаваться из любых математических объектов: чисел, функций, уравнений и т.д.

Построение математической модели

§ Можно отметить несколько этапов построения математической модели:

1. Осмысление задачи, выделение наиболе важных для нас качеств, свойств, велечин и параметров.

2. Введение обозначений.

3. Составление системы ограничений, которым должны удовлетворять введенные величины.

4. Формулировка и запись условий,которым должно удовлетворять искомое оптимальное решение.

Процесс моделирования не заканчивается составлением модели,а только имначинается. Составив модель, выбирают метод нахождения ответа, решают задачу. после того как ответ найден сопостовляют его с реальностью. И возможно что ответ не удовлетворяет, в этом случае модель видоизменяют или даже выбирают совсем другую модель.

Пример математической модели

Задача

Производственное объединение, в которое входят две мебельные фабрики, нуждается в обновлении парка станков. Причем первой мебельной фабрике нужно заменить три станка, а второй-семь. Заказы можно разместить на двух станкостроительных заводах. Первый завод может изготовить не более 6 станков, а второй завод примет заказ если их будет не мение трех. Требуется определить как размещать заказы.

вектор входных переменных, X= t ,

Y - вектор выходных переменных, Y= t ,

Z - вектор внешних воздействий, Z= t ,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель . Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

аналитические;
имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей .

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),
аппроксимационные задачи ( интерполяция , экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование ),
задачи оптимизации,
стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование .

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями , имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

детерминированные,
стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра .

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

непрерывные,
дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

статические,
динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между