Что такое теория хаоса? Теория хаоса: как поймать бабочку Лоренца

Бифуркационная диаграмма для логистического отображения x → rx (1 - x ). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор при соответствующем значении r . На диаграмме видно серию удвоениий периода при увеличении r . После некоторого значения r аттрактор становится хаотическим.

Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем , подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос (динамический хаос , детерминированный хаос ). Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной . Для акцентирования особого характера изучаемого в рамках этой теории явления обычно принято использовать название теория динамического хаоса .

Примерами подобных систем являются атмосфера , турбулентные потоки , некоторые виды аритмий сердца, биологические популяции , общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические, психологические (культурно-исторические и интер-культуральные) и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием .

Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.

Основные сведения

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий, и небольшие изменения в окружающей среде могут привести к непредсказуемым последствиям.

Математические системы с хаотическим поведением являются детерминированными, то есть подчиняются некоторому строгому закону, и, в некотором смысле, являются упорядоченными. Такое использование слова «хаос» отличается от его обычного значения (см. хаос в мифологии). Отдельная область физики - теория квантового хаоса - изучает недетерминированные системы, подчиняющиеся законам квантовой механики .

Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер , построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).

Понятие хаоса

При этом, до сих пор не существует четкого математической формулировки понятия «хаоса». В этой связи некоторые исследователи теории нередко формулируют хаос как крайнюю непредсказуемость постоянного нелинейного и нерегулярного сложного движения, которое возникает в динамической системе.

Однако, хаос не случаен. Подтверждением тому могут служить некоторые аспекты астрономии, астрологии и религиозных течений, которые мы не станем затрагивать в нашем тексте. И, более того, несмотря на кажущуюся непредсказуемость, он динамически детерминирован (т.е. определен) и не выходит за рамки четких закономерностей. И, хотя на первый взгляд, непредсказуемость

хаоса граничит со случайностью - это обманчивое впечатление. Согласно Теории Хаоса, когда речь заходит о хаотичном движении цен, то имеется в виду не их случайное движение, а упорядоченное определенным способом движение. И, если динамика рынка и хаотична, это не говорит о ее случайности. Т.е., случайность и непредсказуемость - понятия не однозначные, и это важно понимать.

Непредсказуемость хаоса, как правило, объясняется существенной зависимостью от начальных условий. Такая зависимость указывает на то, что даже самые незначительные просчеты в определении параметров изучаемого объекта могут привести к абсолютно неверному прогнозу. Такие ошибки могут возникнуть в результате незнания или непонимания изначально предлагаемых условий. Неважные на первый взгляд моменты, которым трейдер может по неопытности или лени не придать значения, дадут неверно поставленную задачу, и, как следствие, приведут к неправильному прогнозу. Например, касательно невозможности делать правильные долгосрочные прогнозы погоды существенную зависимость от начальных условий называют "эффектом бабочки". "Эффект бабочки" указывает на существование вероятности того, что взмах крыла бабочки в Бразилии приведет к появлению торнадо в Техасе.

Также отметим, что факторы воздействия могут быть экзогенные (внешние), и эндогенные (внутренние). В качестве характерного примера хаотичного движения и влияния экзогенных и эндогенных факторов можно привести движение бильярдного шара. Кто хоть раз играл в бильярд, прекрасно знает, насколько на конечный результат - попадание шара в лузу - влияет направление удара кием, сила удара, расположение шара относительно других шаров и некоторые другие вводные данные. Малейший просчет в одном из этих факторов приведет к абсолютно непредсказуемой траектории движения шара по столу. Однако, даже при всех правильных действиях игрока движение шара может стать непредсказуемым на одном из этапов движения: после соприкосновения с бортом стола, другими шарами, лузой.

Исходя из вышесказанного можно утверждать, что будущее предсказать невозможно, так как всегда существуют изначальные ошибки измерения, порожденные в том числе незнанием всех факторов и условий. Как итог: мелкие недочеты и/или ошибки порождают крупные последствия, которые, как правило, развиваются лавинообразно, или в геометрической прогрессии.

Существует утверждение, что Хаос - более высокая форма порядка. Однако, более правильно считать Хаос другой формой порядка: с неизбежностью в любой динамической системе за порядком в обычном его понимании следует хаос, а за хаосом - порядок. И, если определять Хаос как беспорядок, то внутри него формируется своя, особенную форму порядка. К примеру, дым от сигарет, поднимающийся сначала в виде упорядоченного столба далее под влиянием внешней среды принимает все более причудливые очертания, а его движения становятся хаотичными. Другой пример хаотичности в природе - лист дерева или рисунок кожи пальца человека: ученые доказали, что абсолютной идентичности не бывает НИКОГДА.

Движение от порядка к Хаосу и обратно является сущностью Вселенной, какие бы проявления ее мы не рассматривали. Даже в мозгу человека одновременно присутствует упорядоченное и хаотическое начала. Первое соответствует левому полушарию мозга, а второе - правому. Левое полушарие отвечает сознательное поведение человека, за выработку линейных правил и стратегий в поведении человека, где четко определяется "если…, то…". В правом же полушарии царит нелинейность и хаотичность. Интуиция является одним из проявлений правого полушария мозга. Не зря древняя китайская мудрость гласит, что мысли человека подобны обезьянам, прыгающим с ветки на ветку.

изучает порядок хаотичной системы, которая выглядит случайной, беспорядочной. При этом Теория Хаоса дает возможность построить модель такой системы, не ставя задачу точного прогнозирования поведения хаотичнойой системы в будущем.

Теория Хаоса начала зарождаться еще в XIX веке, однако действительное научное развитие она получила во второй половине XX века, вместе с работами Эдварда Лоренца (Edward Lorenz) из Массачусетского технологического института и франко-американского математика Бенуа Б. Мандельброта (Benoit B. Mandelbrot).

Эдвард Лоренц в свое время (начало 60-х годов XX века, работа опубликована в 1963 году) рассматривал причины трудности прогнозирования погоды. Заметим, что до появления работы Лоренца в научной среде господствовало два мнения относительно возможности точного прогнозирования погоды на бесконечно длительный срок.

Первый подход был сформулирован в 1776 году французским математиком Пьером Симоном Лапласом. Он утверждал, что "…если мы представим себе разум, который в данное мгновение постиг все связи между объектами во Вселенной, то он сможет установить соответствующее положение, движения и общие воздействия всех этих объектов в любое время в прошлом или в будущем". Направление его мыслей повторяли знаменитое изречение Архимеда: "Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир". Таким образом, Лаплас и приверженцы его теории говорили, что для точного прогнозирования погоды необходимо только собрать больше информации обо всех частицах во Вселенной, их местоположении, скорости, массе, направлении движения, ускорении и т.д. Лаплас считал, что чем больше человек будет иметь информации, тем точнее будет его прогноз относительно будущего.

Второй подход относительно возможности прогнозирования погоды был сформулирован другим французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре. В 1903 году он сказал: "Если бы мы точно знали законы природы и положение Вселенной в начальный момент, мы могли бы точно предсказать положение той же Вселенной в последующий момент. Но даже если бы законы природы открыли нам все свои тайны, мы и тогда могли бы знать начальное положение только приближенно. Если бы это позволило нам предсказать последующее положение с тем же приближением, это было бы все, что нам требуется, и мы могли бы сказать, что явление было предсказано, что оно управляется законами. Но это не всегда так; может случиться, что малые различия в начальных условиях вызовут очень большие различия в конечном явлении. Малая ошибка в первых породит огромную ошибку в последнем.

Предсказание становится невозможным, и мы имеем дело с явлением, которое развивается по воле случая".

В этом высказывании Пуанкаре и состоит постулат Теории Хаоса о зависимости от начальных условий. Последующее развитие науки, особенно квантовой механики, опровергло детерминизм теории Лапласа. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг открыл и сформулировал принцип неопределенности. Этот принцип объясняет, почему некоторые случайные явления не подчиняются детерминизму Лапласа. Гейзенберг показал принцип неопределенности на примере радиоактивного распада ядра. Так, из-за очень малых размеров ядра невозможно знать все процессы, происходящие внутри него. Поэтому, сколько бы информации мы не собирали о ядре, точно предсказать, когда это ядро распадется - невозможно.

Таким образом, мы подошли вплотную к самой Теории Хаоса, изучение которой основано на таких инструментах, как аттракторы и фракталы.

Аттрактор

Аттрактор (англ. to attract - притягивать) - геометрическая структура, характеризующая поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Аттрактор Лоренца рассчитан на основе всего трех степеней свободы - три обыкновенных дифференциальных уравнения, три константы и три начальных условия. Однако, несмотря на свою простоту, система Лоренца ведет себя псевдослучайным (хаотичным) образом.

Смоделировав свою систему на компьютере, Лоренц выявил причину ее хаотического поведения - разницу в начальных условиях. Даже микроскопическое отклонение двух систем в самом начале в процессе эволюции приводило к экспоненциальному накоплению ошибок и соответственно их стохастическому расхождению.

Наряду с этим, любой аттрактор имеет определенные размеры границ, поэтому экспоненциальная расходимость двух траекторий разных систем не может продолжаться бесконечно. Рано или поздно орбиты вновь сойдутся и пройдут рядом друг с другом или даже совпадут, хотя последнее и маловероятно. Кстати, совпадение траекторий является правилом поведения простых предсказуемых аттракторов.

Сходимость-расходимость (или складывание и вытягивание соответственно) хаотичного аттрактора систематически устраняет начальную информацию и заменяет ее новой. При схождении траектории сближаются и начинает проявляться эффект близорукости - возрастает неопределенность крупномасштабной информации. При расхождении траекторий наоборот, они расходятся и проявляется эффект дальнозоркости, когда возрастает неопределенность мелкомасштабной информации (этот подход применил в своей Теории Пассионарности Л. Н. Гумилев, назвав такие явления «оберрацией близости» и «оберрацией дальности»).

В результате постоянной сходимости-расходимости хаотичного аттрактора неопределенность стремительно нарастает, что с каждым моментом времени лишает нас возможности делать точные прогнозы. То, чем так гордится наука - способностью устанавливать связи между причинами и следствиями - в хаотичных системах невозможно. Причинно-следственной связи между прошлым и будущем в Хаосе не существует.

Также надо отметить, что скорость схождения-расхождения является мерой Хаоса, т.е. численным выражением хаотичности самой системы. Другой статистической мерой Хаоса служит размерность аттрактора.

Подводя промежуточный итог, заметим, что основным свойством хаотичных аттракторов является сходимость-расходимость траекторий разных систем, которые случайным образом постепенно и бесконечно перемешиваются.

На этом этапе поговорим о пересечении фрактальной геометрии и Теории Хаоса. А парадокс заключен в том, что хотя фрактал и является одним из инструментов Теории Хаоса, по сути он - противоположность Хаоса.

Главное различие между Хаосом и Фракталом состоит в том, что первый является динамическим явлением, а второй - статическим. Под динамическим свойством Хаоса понимается непостоянное и непериодическое изменение траекторий.

Фрактал

Фрактал - это геометрическая фигура, определенная часть которой повторяется снова и снова. Отсюда проявляется одно из свойств фрактала - самоподобие.

Другое свойство фрактала - дробность. Дробность фрактала является математическим отражением меры неправильности фрактала.

Фактически все, что кажется случайным и неправильным, может быть фракталом (очертания океанов и морей, облака, деревья, биение сердца, популяции и миграции животных, дым от костра или языки пламени).

В итоге, Теория Хаоса предполагает три основных принципа для изучения рынка :

Все в мире следует путем наименьшего сопротивления. Рынок подобен реке, выбирающей свое русло.

Путь наименьшего сопротивления определяется структурой, которая всегда обусловлена причинами и обычно не видна. Если русло реки глубоко и широко, течение медленное, если неглубокое и узкое - на реке образовываются буруны и стремнины. Поведение течения можно предсказать путем исследования русла реки.

Основная и обычно невидимая структура всегда может быть определена и изменена. Структура определяет поведение. Вы можете изменить поток вашей жизни и вашей торговли, распознавая основную структуру вашей торговли.

Содержание статьи

ХАОСА ТЕОРИЯ, раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система – это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим. Такая система детерминирована, если эти правила не включают явным образом элемента случайности.

Вплоть до 1960-х годов многим казалось естественным полагать, что динамическая система, описываемая простыми детерминистическими уравнениями, должна вести себя относительно просто, хотя уже более столетия было известно, что это верно лишь в некоторых весьма специальных случаях, таких, как Солнечная система . Однако к 1980 математики и естествоиспытатели обнаружили, что хаос вездесущ.

Пример хаотического поведения из повседневной жизни – движение жидкости в миксере. Это устройство подчиняется простым механическим законам: его нож-смеситель вращается с постоянной скоростью, и взаимодействие жидкости с ножом внутри миксера можно описать простыми детерминистическими уравнениями. Однако возникающее при этом движение жидкости весьма сложно. Ее соседние области рассекаются ножом и разделяются, а отдаленные области могут сближаться. Короче говоря, жидкость перемешивается – для этого миксеры и предназначены.

Выражение «теория хаоса» используется преимущественно в популярной литературе. Специалисты же рассматривают эту дисциплину как раздел теории динамических систем.

Основные принципы.

Для изучения хаоса используют общие математические принципы и компьютерное моделирование. Фундаментальной характеристикой всякой динамической системы является итерация, т.е. результат повторного (многократного) применения одного и того же математического правила к некоторому выбранному состоянию. Состояние обычно описывается числом или набором чисел, но это может быть также геометрическая фигура или конфигурация. Например, пусть правилом будет «разделить на два». Начав с исходного состояния, задаваемого числом 1, это правило дает итерации 1/2, 1/4, 1/8,..., образующие очевидную закономерную последовательность. Правило «возвести в квадрат и вычесть единицу», примененное к 0, дает последовательность –1, 0, –1, 0,..., которая циклически и неограниченно скачет между числами 0 и -1. Однако правило «возвести в квадрат, удвоить и затем вычесть единицу», если начать применять его, скажем, к значению 0,1, порождает последовательность чисел -0,98, 0,92, 0,69, -0,03,..., в которой не удается заметить никакой очевидной закономерности.

Основным понятием теории хаоса является аттрактор, т.е. то поведение, к которому в конце концов приходит или в пределе стремится система. Аттракторами для трех описанных выше систем являются: единственное число 0; пара чисел (0, -1); весь интервал чисел между –1 и 1. Динамика в этих трех случаях соответственно стационарная, периодическая и хаотическая. Хаотический аттрактор обладает скрытой структурой, которая часто становится явной после графического представления итераций. Состояние динамической системы – это набор чисел, которые можно интерпретировать как координаты изображающей его точки в некотором фазовом пространстве. Когда состояние системы меняется, эта точка движется. Для стационарного аттрактора движущаяся точка стремится к фиксированному положению, а для периодического аттрактора она циклически проходит через фиксированную последовательность положений. В случае хаотического аттрактора движущаяся точка образует более сложную конфигурацию с очень хитроумной, многослойной структурой. Такие конфигурации называют фракталами; этот термин был введен в 1970 Б.Мандельбротом. Его работы впоследствии стимулировали огромное количество исследований по фрактальной геометрии.

Важной чертой хаотической динамики является ее непредсказуемость. Представим себе две частички порошка, находящиеся рядом друг с другом в жидкости внутри миксера. После включения миксера эти две частички недолго останутся рядом; они быстро разойдутся в разные стороны и вскоре начнут двигаться независимо. Подобным же образом, если дважды запустить хаотическую систему из очень близких начальных состояний, ее поведение в этих двух случаях быстро станет совершенно непохожим. Это означает, что на больших временных интервалах хаотические системы непредсказуемы. Малейшая погрешность измерения начального состояния быстро растет, и предсказание будущего состояния становится все более неточным. Однако, в отличие от случайной системы, краткосрочное прогнозирование здесь возможно.

История вопроса.

В 1926–1927 голландский инженер Б.Ван-дер-Пол сконструировал электронную схему, соответствующую математической модели сердечных сокращений. Он обнаружил, что при определенных условиях возникающие в схеме колебания были не периодическими, как при нормальном сердцебиении, а нерегулярными. Его работа получила серьезное математическое обоснование в годы Второй мировой войны , когда Дж.Литтлвуд и М.Картрайт исследовали принципы радиолокации. В начале 1960-х годов американский математик С.Смейл попытался построить исчерпывающую классификацию типичных разновидностей поведения динамических систем. Поначалу он предполагал, что можно обойтись различными комбинациями периодических движений, но вскоре понял, что возможно значительно более сложное поведение. В частности, он подробнее исследовал открытое Пуанкаре сложное движение в ограниченной задаче трех тел, упростив геометрию и получив при этом систему, известную ныне как «подкова Смейла». Он доказал, что такая система, несмотря на ее детерминированность, проявляет некоторые черты случайного поведения. Другие примеры подобных явлений были разработаны американской и российской школами в теории динамических систем, причем особенно важным оказался вклад В.И.Арнольда. Так начала возникать общая теория хаоса. Сам термин «хаос» ввели Дж.Йорке и Т.Ли в 1975 в краткой статье, посвященной обсуждению некоторых результатов исследований российской школы.

Исследования хаотических систем время от времени появлялись и в литературе по прикладным вопросам. Наиболее известная из таких моделей была введена метеорологом Э.Лоренцем в 1963. Лоренц построил модель конвекции в атмосфере, создав приближения очень сложных уравнений, описывающих это явление, значительно более простыми уравнениями с тремя неизвестными. Численно решая их на компьютере, он обнаружил, что решения колеблются нерегулярным, почти случайным образом. Лоренц также установил, что если слегка изменять начальные значения переменных, то отклонения будут усиливаться, пока новое решение не окажется совершенно непохожим на исходное. Описание им этого явления в последующих лекциях привело к популярному ныне выражению «эффект бабочки»: взмах крыла бабочки может изменить погоду.

Примеры приложений.

Ранняя работа Э.Лоренца в области метеорологии получила дальнейшее развитие, и теперь известно, что полные уравнения поведения атмосферы, используемые при прогнозировании погоды, могут вести себя хаотически. Это означает, что долгосрочные прогнозы погоды на основе данных о ее прошлом состоянии подвержены «эффекту бабочки», так что погода обычно не может быть предсказана более чем на четыре или пять дней вперед – независимо от мощности используемых компьютеров.

Движение в Солнечной системе тоже, как известно, хаотично, но здесь требуются десятки миллионов лет, прежде чем какое-то изменение станет непредсказуемым. Хаос проявляет себя многообразными способами. Например, спутник Сатурна Гиперион обращается по регулярной, предсказуемой орбите вокруг своей планеты, но при этом он хаотически кувыркается, изменяя направление оси собственного вращения. Теория хаоса объясняет это кувыркание как побочное действие приливных сил, создаваемых Сатурном. Теория хаоса объясняет также распределение тел в поясе астероидов между Марсом и Юпитером. Оно неравномерно: на одних расстояниях от Солнца существуют сгущения, на других – пустые промежутки. И сгущения, и пустые промежутки их гелиоцентрических орбит находятся на расстояниях, образующих «резонансы» с Юпитером, т.е. период обращения каждого астероида составляет некую простую дробь с периодом обращения Юпитера. Например, в резонансе 2:3 период обращения астероида равен 2/3 периода обращения Юпитера. Теория хаоса показывает, что одни резонансы порождают устойчивое поведение (сгущения), тогда как другие – неустойчивое (пустые промежутки). В частности, астероиды в резонансе 1:3 с Юпитером имеют неустойчивые орбиты и могут испытать возмущения, заставляющие их пересечь орбиту Марса, после чего они могут испытать дальнейшие возмущения и пересечь орбиту Земли. В 1995 Ж.Ласкар установил, что на временных масштабах десятков миллионов лет вся Солнечная система хаотична. Однако хаос не делает все черты движения в Солнечной системе непредсказуемыми. Например, форма планетной орбиты может быть предсказуемой, однако точное положение планеты на орбите остается непредсказуемым. Ласкар предсказал вероятное будущее Солнечной системы в целом на следующие несколько миллиардов лет. Согласно его вычислениям, ничего существенного не случится с орбитами внешних планет – Юпитера, Сатурна, Урана, Нептуна и Плутона. Орбиты Земли и Венеры тоже не претерпели бы существенных изменений, если бы не Марс, орбита которого изменится настолько, что он едва не столкнется с Землей. Меркурий тоже приблизится к Венере и будет либо выброшен из Солнечной системы, либо поменяется местами с Венерой.

Хаос имеет место также в биологии и экологии. В конце 19 в. было установлено, что популяции животных редко бывают стабильными; им свойственны нерегулярно чередующиеся периоды быстрого роста и почти полного вымирания. Теория хаоса показывает, что простые законы изменения численности популяций могут объяснить эти флуктуации без введения случайных внешних воздействий. Теория хаоса также объясняет динамику эпидемий, т.е. флуктуирующих популяций микроорганизмов в организмах людей.

Может создаться впечатление, что теория хаоса не должна иметь каких-либо полезных применений, поскольку хаотические системы непредсказуемы. Однако это неверно, во-первых, потому, что лишь некоторые аспекты хаотических систем непредсказуемы, и, во-вторых, потому, что полезность теории не ограничивается способностью прямого прогнозирования. В частности, теория хаоса предлагает новые методы анализа данных и обнаружения скрытых закономерностей там, где прежде систему считали случайной и никаких закономерностей в ее поведении не искали, полагая, что их просто не существует. Одним из приложений этого подхода служит машина FRACMAT, обеспечивающая дешевую и быструю процедуру контроля качества пружинной проволоки.

К числу наиболее перспективных применений теории хаоса принадлежит «хаотическое управление». В 1950 Дж.фон Нейман предположил, что неустойчивость погоды может в один прекрасный день обернуться благом, поскольку неустойчивость означает, что желаемый эффект может быть достигнут очень малым возмущением. В 1990 С.Гребоджи, Э.Отт и Дж.Йорке опубликовали теоретическую схему использования этого вида неустойчивости для управления хаотическими системами. Их схема представляет собой общую форму того метода, с помощью которого в 1985 инженеры НАСА послали космический зонд на встречу с кометой Джакобини – Циннера. Зонд пять раз облетел Луну, используя хаотичность взаимодействия трех тел, позволяющую совершать большие изменения траектории с малыми затратами топлива. Тот же метод был применен для синхронизации батареи лазеров; для управления нерегулярностями сердцебиения, что открывает возможность создать «интеллектуальный» стимулятор сердечного ритма; для управления биотоками мозга, что, в частности, может помочь контролировать эпилептические припадки; наконец, для ламинаризации турбулентного течения жидкости – метод, который способен уменьшить расход топлива самолетами.

Говоря «хаос», мы, обычно, подразумеваем полное отсутствие порядка, абсолютную неупорядоченность и случайность. С математической точки зрения, хаос и порядок – понятия не взаимоисключающие. Теория хаоса (есть что-то завораживающие в названиях математических теорий) – достаточно молодая математическая область, создание которой приравнивают по значимости открытий ХХ века к созданию квантовой механики. Хаос случается в нелинейных динамических системах. Иначе говоря, любой процесс, который протекает со временем, может быть хаотичным (например, высота дерева, температура тела или популяция мадагаскарских тараканов).

Чтобы разобраться, что такое хаос, сначала обратимся к системам, такой чертой не наделённым. Детерминированные системы не допускают никаких случайностей: значение на выходе полностью определено значениями на входе. Таким образом, изменение начальных условий вызывает пропорциональное изменение результата. Так, ньютоновская механика подразумевает детерминированность, и изменяя, к примеру, силу пинка по мячу, можно ожидать соответствующее изменение в продолжительности полёта этого мяча. Так что, по принципу детерминированности, положение мяча в текущий момент полностью определено положением мяча в предыдущий момент и будущее положение зависит от текущего и всё это совсем несложно посчитать. Так, и астрономы прошлого времени полностью доверялись этому принципу и считали, что вселенная – строго детерминированная система и положение небесных тел в будущем (и в прошлом) можно рассчитать, зная их текущее положение и скорость, т.е. зная начальные условия. Предполагалось, что чем точнее известны начальные условия, тем точнее будет результат прогноза, однако известный математик Анри Пуанкаре, который (в свободное время, вероятно) занимался описанием орбит небесных тел, обнаружил, что в системах из 3-х и более тел, при незначительном изменение начальных условий (положения и скорости), траектории тела очень быстро удаляются друг от друга. Два близких набора начальных условий давали различные результаты.

Большой вклад в теорию хаоса внёс метеоролог Эдвард Лоренц. В шестидесятых годах прошлого века этот американец работал над компьютерной программой, моделирующей движение воздушных масс в атмосфере Земли. Все мы знаем, что компьютер (вопреки расхожим слухам) является строго детерминированной системой, и это создаёт известный принцип «garbage in garbage out». Лоренц гонял свою программу и в хвост, и в гриву, получая всякие разные результаты. Некоторые его коллеги даже делали предположения, что эта модель является точным предсказателем погоды, спрашивали, брать ли завтра зонтик. Разумеется, эти выводы были поспешны, вскоре выяснилась одна особенность модели погоды. Один раз для ускорения вычислений, Лоренц запустил программу не сначала, а ввёл в неё данные из предыдущего «прогона», которые были распечатаны на бумаге. Однако результаты такого запуска быстро начали отклоняться от уже полученных, формируя абсолютно другую картину. Немного неожиданно, не так ли? Оказалось, что Лоренц вводил не точные результаты прошлых вычислений, а округлённые перед выводом на печать, эта погрешность просто игнорировалась. Модель Лоренца оказалась сверхчувствительна к начальным условиям. Малейшее различие во входных данных приводило к сильному расхождению результатов с течением времени. Эта зависимость от начальных условий и была названа хаосом. Лоренцом была озвучена знаменитая черта хаоса, именуемая «эффектом бабочки», который предполагает, что в зависимости от того, махнёт ли бабочка крыльями в лесах Бразилии зависит случится ли в Техасе ураган или нет. Этот же принцип был положен в основу одноимённого фильма с Эштоном Катчером (кино ненаучное, смотреть необязательно).

Отклонение в результатах повторных вычислений

Вся эта зависимость от начальных условий предполагает, что мы не можем делать долгосрочные прогнозы в нестабильных динамических системах. Любая погрешность в начальных условиях не позволит нам предсказать результат на какой-либо продолжительный отрезок времени. Если, к примеру, взять модель Лоренца, в качестве входных данных для определения скорости ветра нам будет необходимо ввести значения температуры и давления в каждой точке земной атмосферы, только тогда можно будет ожидать достоверный прогноз на длительный срок. Причём, входные данные должны быть абсолютно точными, т. е. с бесконечным числом знаков после запятой. А как известно, совершенно все измерительные приборы на Земле имеют ненулевую погрешность. Как бы точно не была измерена величина, всегда можно (теоретически) измерить точнее. Да и нет таких машин, которые бы позволили вводить бесконечное количество знаков после запятой. Может с приходом квантовых компьютеров что-то и изменится, не знаю.

Вот и выходит, что никуда от хаоса не деться и надо с ним мириться. Но не всё так плохо, на мой взгляд. Если бы все процессы во вселенной были бы полностью детерминированными, без единого намёка на случайность, жить было бы намного скучнее. Некоторые учёные даже склоняются к мысли о том, что хаос придаёт вселенной «стрелу времени», направленное и необратимое движение из прошлого в будущее.

Однако «хаос» и «случайность» понятия совсем не равнозначные. Определённая интерпретация процессов, кажущихся случайными, приводит их в порядок. К примеру, время между биениями сердца человека величина непостоянная, даже если человек не подвержен физ нагрузке. Если мы понаблюдаем за биением сердца некоторое время и интервалы между биениями запишем в таблицу, а также создадим второй столбец, копируя значения из первого, но со сдвигом на одно значение (т.е. первому измерению (t) в первом столбце будет соответствовать второе измерение (t+1) во втором, второму - третье и т.д;), можно будет построить карту, где по вертикали будем иметь значения без сдвига (t), а по горизонтали - значения со сдвигом(t+1). Точки на этой карте не будут рассыпаны в случайном порядке, а будут притянуты к некой области, формируя аттрактор.

Распространённый пример хаотической системы – это двойной маятник, т.е. маятник, к концу которого прикреплен второй маятник. Вы, возможно, видели подобные маятники в магазинах подарков. Так вот если взять два одинаковых маятника, поставить рядом и отклонить их приблизительно на равную величину, то уже через несколько колебаний маятники полностью рассинхронизируются. Чем точнее мы будем соблюдать начальные условия, тем дольше маятники будут качаться в такт, однако от расходимости никуда не деться.


Такие узоры рисует лампочкой на двойном маятнике художник Джордж Иоаннидис

Долгое время теория хаоса считалась некой математической абстракцией, не имеющей подтверждения в реальных условиях. Эта проблема волновала одного японца по имени Леон Чуа, который был нацелен показать, что хаос можно создать. Для этой цели он собрал электрическую цепь.

Цепь Чуа явилась первой электрической цепью, способной генерировать хаотические сигналы. Его творение было гениально в своей простоте, цепь состояла из четырёх линейных элементов: двух конденсаторов, одной индуктивности и резистора, а также включала в себя один нелинейный локально активный элемент, на кусочно-линейной вольт-амперной характеристике которого имелась область с негативным сопротивлением. Этот элемент теперь часто называют диодом Чуа. Цепь представляет собой генератор, и диод Чуа является необходимой частью для достижения хаотических колебаний. Этот элемент недоступен как отдельный компонент, но его несложно собрать, задействовав два операционных усилителя. Другие способы реализации этой нелинейности включают в себя встречно-параллельно подключенную пару инверторов или туннельный диод (похоже, всё-таки доступен, как отдельный компонент), на ВАХ которого, как известно, имеется «долина».


Обобщённая схема генератора Чуа и уравнения, его описывающие

Математика за всем этим стоит довольно сложная, но если не вдаваться в дебри, то эта цепь описывается тремя дифференциальными уравнениями, показывающими изменение по времени напряжения на двух конденсаторах и тока через индуктивность. Численное решение этих уравнений показывает, что при определённых соотношениях между компонентами цепи, изменение значений переменных во времени приобретает хаотический характер.

Собрать генератор Чуа труда особого не составляет. Эта цепь может демонстрировать такие явления хаоса как бифуркации и хаотический аттрактор. Однако для наблюдения всех этих чудес, будет необходим осциллограф, да ещё с двумя входами. В классическом варианте, схема состоит из двух конденсаторов, одной индуктивности, семи резисторов, микросхемы с парой операционных усилителей и двух батареек на 9В (можно использовать блок питания, но питание должно быть двухполярным). Для достижения хаотического поведения, между номиналами элементов должны соблюдаться определённые соотношения. Так, ёмкость конденсатора С2 должна быть примерно 10 ёмкостей С1, отношение С2/С1 называют α. Коэффициент β показывает отношение между R, C2 и L, а именно, β = R^2 C2 / L и должен равняться приблизительно 15.


Принципиальная схема генератора с отрицательным сопротивлением на операционных усилителях

Итак, приступим к сборке. Собирать можно и на макетной плате, но чтобы сигналы были чётче, лучше компоненты спаять на печатной плате. В своей сборке я использовал конденсаторы на 47нФ и 470нФ, индуктивность на 15мГн и потенциометр на 1кОм (за неимением такового номиналом 2кОм, соединил его последовательно с резистором на 1кОм). Последовательно с индуктивностью можно (но необязательно) включить резистор малого номинала (до 10Ом), чтобы добавить «красоты» в сигналы. Диод Чуа реализован стандартным способом, с применением двух операционников. Я использовал микросхему TL082CP, по спецификации, это широкополосный операционный усилитель, советую использовать такой тип, с более простыми аналогами схема у меня не «завелась». Для создания характеристики с необходимыми наклонами, нам потребуются следующие номиналы резисторов: R1 = R2 = 220Ом, R3 = 2.2кОм, R4 = R5 = 22кОм, R6 = 3.3кОм. Запитать операционник можно двумя батарейками 9В, для корректной работы ОУ питание нам нужно двухполярное. Моя сборка топорная, согласен - проводки под питание и скрученные резисторы, другие мелкие недочёты, но для мониторинга хаотических сигналов этого хватило.


Остальную часть платы сбережём для следующих проектов

После аккуратной сборки этой несложной схемы, можно попробовать посмотреть, что за сигналы она генерирует. Сигналы будем снимать с конденсаторов C1 и С2. На моей схеме я сделал два BNC разъёма для удобства подсоединения схемы к осциллографу. Подключаем кабели к осциллографу и выбираем X-Y режим, когда по одной оси у нас будет напряжение на первом конденсаторе, а по другой – напряжение на втором. Что вывести на X, а что на Y значения не имеет. Выкрутим ручку потенциометра на максимальное значение и запитаем схему. На экране осциллографа должна появиться точка. Медленно уменьшаем значение сопротивления (лучше использовать потенциометры с большим ходом и с крупной ручкой, дабы обеспечить плавность изменения сопротивления), в какой-то момент точка должна превратиться в орбиту. Последующее уменьшение сопротивления приводит к раздваиванию этой орбиты, мы начинаем наблюдать бифуркации. Удвоения периода орбиты будут происходить и дальше с уменьшением сопротивления, расстояния между последующими раздвоениями будут постоянно и планомерно уменьшаться. Т.е. разница сопротивлений между четверной и восьмерной орбитой будет меньше, чем между четверной и двойной. Скорость, с которой интервал между бифуркациями уменьшается определяется константой Фейгенбаума. Период, до которого вам удастся наблюдать бифуркации зависит от четкости сигналов (т.е. от качества соединений) и от чувствительности потенциометра (дрожание рук тоже не на пользу). В какой-то момент стабильная орбита уступает место двухпетлевому аттрактору, который знаменует наступление хаоса. Этот аттрактор имеет три точки равновесия: одну в начале координат, и две в «дырках» петель. Типичная траектория аттрактора начинает вращение вокруг одной из «дырок», удаляясь от точки равновесия с каждым витком, затем траектория либо возвращается ближе в центру и вновь удаляется, либо направляется к другой точке равновесия, где процесс повторяется. Количество вращений в каждом случае случайно.

Образование хаоса через бифуркации

Этот аттрактор будет существовать в некотором интервале сопротивлений, а затем уступит место стабильной орбите, показывающей гармонические колебания. При достаточно малых значениях сопротивления, цепь превращается в простой колебательный контур, генерирующий синусоидальный сигнал с частотой, определённой значениями конденсаторов и индуктивности. Для большей «гибкости» цепи, потенциометрами можно заменить резисторы в цепи отрицательного сопротивления.

Если мы взглянем на спектр сигналов, то увидим, что в хаотическом режиме полоса генерации достаточно широкая и не имеет ярко выраженных пиков, к тому же начинается с постоянной составляющей.


Спектр хаотического сигнала

Схема предельно проста, но её поведение изучалось многими учёными, работающими с теорией хаоса. С её помощью изучались бифуркации и создавалась целая галерея различных аттракторов. Однако кроме чисто научного интереса, данная схема имеет и практическое применение.

Поскольку это генератор, значит, его можно использовать для радиосвязи, а раз этот генератор необычный, радиосвязь можно сделать защищённой. Существует несколько типов модуляции хаотического сигнала, от простого маскирования информационного сигнала, до высокоуровневой цифровой модуляции. Высокая чувствительность хаотического генератора позволяет использовать его в качестве детектора слабых сигналов. Также сообщалось о создании генератора случайных чисел на основе данной схемы. Кроме того, как вы заметили, спектр данного генератора лежит в звуковом диапазоне, так что этой схемой не преминули воспользоваться концептуальные музыканты.

Не знаю, многие ли захотят собрать этот хаотический генератор, ибо практической пользы от него маловато, но, мне кажется, возможность поиграться с ним и понаблюдать интересные узоры на осциллографе стоит этих копеечных деталей и получаса времени. Даже если покупать все компоненты поштучно в магазине, 200 рублей – максимум, что можно потратить, но я уверен, что у многих все детали есть в загашниках!

Данная схема может быть интересна студентам математических и электротехнических факультетов. Думаю, что демонстрация работы генератора Чуа сможет заинтересовать преподавателей, в чьи научные интересы входит теория хаоса. Спасибо всем за внимание!

Теория хаоса

Диаграмма раздвоения логистической карты, где x → r x (1 - x). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения r. Диаграмма отображает удвоение периода когда r увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

Тео́рия ха́оса - математический аппарат, описывающий поведение некоторых нелинейных динамических систем , подверженных при определённых условиях явлению, известному как хаос . Поведение такой системы кажется случайным, даже если модель, описывающая систему, является детерминированной .

Примерами подобных систем являются атмосфера , турбулентные потоки , биологические популяции , общество как система коммуникаций и его подсистемы: экономические, политические и другие социальные системы. Их изучение, наряду с аналитическим исследованием имеющихся рекуррентных соотношений, обычно сопровождается математическим моделированием , эффект Коновала - распределение частот выпадения положительных результатов, или принятия правильных решений.

Теория хаоса - область исследований, связывающая математику и физику.

Основные сведения

Теория хаоса гласит, что сложные системы чрезвычайно зависимы от первоначальных условий и небольшие изменения в окружающей среде ведут к непредсказуемым последствиям.

Пионерами теории считаются французский физик и философ Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении), советские математики А. Н. Колмогоров и В. И. Арнольд и немецкий математик Ю. К. Мозер , построившие теорию хаоса, называемую КАМ (теория Колмогорова - Арнольда - Мозера). Теория вводит понятие аттракторов (в том числе, странных аттракторов как притягивающих канторовых структур), устойчивых орбит системы (т. н. КАМ-торов).

Понятие хаоса

Чувствительность к начальным условиям в такой системе означает, что все точки, первоначально близко приближенные между собой, в будущем имеют значительно отличающиеся траектории . Таким образом, произвольно небольшое изменение текущей траектории может привести к значительному изменению в её будущем поведении. Доказано, что последние два свойства фактически подразумевают чувствительность к первоначальным условиям (альтернативное, более слабое определение хаоса использует только первые два свойства из вышеупомянутого списка).

Чувствительность к начальным условиям более известна как «Эффект бабочки ». Термин возник в связи со статьёй «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас», которую Эдвард Лоренц в 1972 году вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне . Взмах крыльев бабочки символизирует мелкие изменения в первоначальном состоянии системы, которые вызывают цепочку событий, ведущих к крупномасштабным изменениям. Если бы бабочка не хлопала крыльями, то траектория системы была бы совсем другой, что в принципе доказывает определённую линейность системы. Но мелкие изменения в первоначальном состоянии системы могут и не вызывать цепочку событий.

Топологическое смешивание

Топологическое смешивание в динамике хаоса означает такую схему расширения системы, что одна её область в какой-то стадии расширения накладывается на любую другую область. Математическое понятие «смешивание», как пример хаотической системы, соответствует смешиванию разноцветных красок или жидкости.

Тонкости определения

Пример топологического смешивания, где x → 4 x (1 - x) и y → x + y, если x + y <1 (иначе x + y - 1). Здесь синий регион в процессе развития был преобразован сначала в фиолетовый, потом в розовый и красный регионы и в конечном итоге выглядит как облако точек, разбросанных поперек пространства

В популярных работах чувствительность к первоначальным условиям часто путается с самим хаосом. Грань очень тонкая, поскольку зависит от выбора показателей измерения и определения расстояний в конкретной стадии системы. Например, рассмотрим простую динамическую систему , которая неоднократно удваивает первоначальные значения. Такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде, так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга. Однако её поведение тривиально, поскольку все точки кроме нуля имеют тенденцию к бесконечности , и это не топологическое смешивание. В определении хаоса внимание обычно ограничивается только закрытыми системами, в которых расширение и чувствительность к первоначальным условиям объединяются со смешиванием.

Даже для закрытых систем, чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в смысле изложенном выше. Например, рассмотрим тор (геометрическая фигура, поверхность вращения окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности - имеет форму бублика), заданный парой углов (x, y) со значениями от нуля до 2π . Отображение любой точки (x, y) определяется как (2x, y+a), где значение a/2π является иррациональным . Удвоение первой координаты в отображении указывает на чувствительность к первоначальным условиям. Однако, из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит - следовательно отображение не является хаотическим согласно вышеупомянутому определению.

Аттракторы

Наиболее интересны случаи хаотического поведения, когда большой набор первоначальных условий приводит к изменению на орбитах аттрактора. Простой способ продемонстрировать хаотический аттрактор - это начать с точки в районе притяжения аттрактора и затем составить график его последующей орбиты. Из-за состояния топологической транзитивности , это похоже на отображения картины полного конечного аттрактора. Например, в системе описывающей маятник - пространство двумерное и состоит из данных о положении и скорости. Можно составить график положений маятника и его скорости. Положение маятника в покое будет точкой, а один период колебаний будет выглядеть на графике как простая замкнутая кривая . График в форме замкнутой кривой называют орбитой. Маятник имеет бесконечное количество таких орбит, формируя по виду совокупность вложенных эллипсов .

Странные аттракторы

Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы. Эти два графика демонстрируют чувствительную зависимость от первоначальных условий в пределах занятого аттрактором региона

Простые хаотические системы

Хаотическими могут быть и простые системы без дифференциальных уравнений . Примером может быть логистическое отображение, которое описывает изменение количества населения с течением времени. Логистическое отображение является полиномиальным отображением второй степени и часто приводится в качестве типичного примера того, как хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений . Ещё один пример - это модель Рикера, которая также описывает динамику населения.

Хронология

Фрактальный папоротник, созданный благодаря игре хаоса. Природные формы (папоротники, облака, горы и т. д.) могут быть воссозданы через систему повторяющихся функций

Первым исследователем хаоса был Анри Пуанкаре . В 1880-х, при изучении поведения системы с тремя телами, взаимодействующими гравитационно, он заметил, что могут быть непериодические орбиты , которые постоянно и не удаляются и не приближаются к конкретной точке. В 1898 Жак Адамар издал влиятельную работу о хаотическом движении свободной частицы, скользящей без трения по поверхности постоянной отрицательной кривизны. В своей работе «бильярд Адамара» он доказал, что все траектории непостоянны и частицы в них отклоняются друг от друга с положительной экспонентой Ляпунова .

Почти вся более ранняя теория, под названием эргодическая теория, была разработана только математиками. Позже нелинейные дифференциальные уравнения изучали Г. Биргхоф , A. Колмогоров , M. Каретник, Й. Литлвуд и Стивен Смэйл. Кроме С. Смэйла, на изучение хаоса всех их вдохновила физика: поведение трёх тел в случае с Г. Биргхофом, турбуленция и астрономические исследования в случае с А. Колмогоровым, радиотехника в случае с М. Каретником и Й. Литлвудом. Хотя хаотическое планетарное движение не изучалось, экспериментаторы столкнулись с турбуленцией в жидкости и непериодическими колебаниями в радиосхемах, не имея достаточной теории чтобы это объяснить.

Несмотря на попытки понять хаос в первой половине двадцатого столетия, теория хаоса как таковая начала формироваться только с середины столетия. Тогда для некоторых учёных стало очевидно, что преобладающая в то время линейная теория просто не может объяснить некоторые наблюдаемые эксперименты подобно логистическому отображению. Чтобы заранее исключить неточности при изучении - простые «помехи» в теории хаоса считали полноценной составляющей изучаемой системы. Основным катализатором для развития теории хаоса стала электронно-вычислительная машина . Большая часть математики в теории хаоса выполняет повторную итерацию простых математических формул, которые делать вручную непрактично. Электронно-вычислительные машины делали такие повторные вычисления достаточно быстро, тогда как рисунки и изображения позволяли визуализировать эти системы.

Одним из пионеров в теории хаоса был Эдвард Лоренц , интерес которого к хаосу появился случайно, когда он работал над предсказанием погоды в 1961 году. Погодное Моделирование Лоренц выполнял на простом цифровом компьютере McBee LGP-30. Когда он захотел увидеть всю последовательность данных, тогда, чтобы сэкономить время, он запустил моделирование с середины процесса. Хотя это можно было сделать введя данные с распечатки, которые он вычислил в прошлый раз.

К его удивлению погода, которую машина начала предсказывать, полностью отличалась от погоды, рассчитанной прежде. Лоренц обратился к компьютерной распечатке. Компьютер работал с точностью до 6 цифр, но распечатка округлила переменные до 3 цифр, например значение 0.506127 было напечатано как 0.506. Это несущественное отличие не должно было иметь фактически никакого эффекта. Однако Лоренц обнаружил, что малейшие изменения в первоначальных условиях вызывают большие изменения в результате. Открытию дали имя Лоренца и оно доказало, что Метеорология не может точно предсказать погоду на период более недели. Годом ранее, Бенуа Мандельброт нашёл повторяющиеся образцы в каждой группе данных о ценах на хлопок. Он изучал теорию информации и заключил, что Структура помех подобна набору Регента: в любом масштабе пропорция периодов с помехами к периодам без них была константа - значит ошибки неизбежны и должны быть запланированы. Мандельброт описал два явления: «эффект Ноя », который возникает, когда происходят внезапные прерывистые изменения, например, изменение цен после плохих новостей, и «эффект Иосифа » в котором значения постоянны некоторое время, но все же внезапно изменяются впоследствии. В 1967 он издал работу «Какой длины побережье Великобритании? Статистические данные подобностей и различий в измерениях» доказывая, что данные о длине береговой линии изменяются в зависимости от масштаба измерительного прибора. Он утверждал, что клубок бечевки кажется точкой, если его рассматривать издалека (0-мерное пространство), он же будет клубком или шаром, если его рассматривать достаточно близко (3-мерное пространство) или может выглядеть замкнутой кривой линией сверху (1-мерное пространство). Он доказал, что данные измерения объекта всегда относительны и зависят от точки наблюдения.

Объект, изображения которого являются постоянными в различных масштабах («самоподобие») является фракталом (например кривая Коха или «снежинка»). В 1975 году Мандельброт опубликовал работу «Фрактальная геометрия природы», которая стала классической теорией хаоса. Некоторые биологические системы, такие как система кровообращения и бронхиальная система, подходят под описание фрактальной модели.

Турбулентные потоки воздуха от крыла самолета, образующиеся во время его посадки. Изучение критической точки, после которой система создает турбулентность, были важны для развития теории Хаоса. Например, советский физик Лев Ландау разработал Ландау-Хопф теорию турбулентности. Позже, Дэвид Руелл и Флорис Тейкнс предсказали, вопреки Ландау, что турбулентность в жидкости могла развиться через странный аттрактор, то есть основную концепцию теории хаоса

Явления хаоса наблюдали многие экспериментаторы ещё до того, как его начали исследовать. Например, в 1927 году Ван дер Поль, а в 1958 году П. Ивес. 27 ноября 1961 Й. Уэда, будучи аспирантом в лаборатории Киотского университета, заметил некую закономерность и назвал её «случайные явления превращений», когда экспериментировал с аналоговыми вычислительными машинами. Тем не менее его руководитель не согласился тогда с его выводами и не позволил ему представить свои выводы общественности до 1970 года. В декабре 1977 Нью-Йоркская академия наук организовала первый симпозиум о теории хаоса, который посетили Дэвид Руелл, Роберт Мей, Джеймс А. Иорк, Роберт Шоу , Й. Даян Фермер, Норман Пакард и метеоролог Эдвард Лоренц . В следующем году, Митчелл Феидженбом издал статью «Количественная универсальность для нелинейных преобразований», где он описал логистические отображения. М. Феидженбом применил рекурсивную геометрию к изучению естественных форм, таких как береговые линии. Особенность его работы в том, что он установил универсальность в хаосе и применял теорию хаоса ко многим явлениям. В 1979 Альберт Дж. Либчейбр на симпозиуме в Осине, представил свои экспериментальные наблюдения каскада раздвоения, который ведет к хаосу. Его наградили премией Вольфа в физике вместе с Митчеллом Дж. Фейгенбаумом в 1986 «за блестящую экспериментальную демонстрацию переходов к хаосу в динамических системах ». Тогда же в 1986 Нью-Йоркская Академия Наук вместе с национальным Институтом Мозга и центром Военно-морских исследований организовали первую важную конференцию по хаосу в биологии и медицине. Там Бернардо Уберман продемонстрировал математическую модель глаза и нарушений его подвижности среди шизофреников . Это привело к широкому применению теории хаоса в физиологии в 1980-х, например в изучении патологии сердечных циклов . В 1987 Пер Бак, Чао Тан и Курт Висенфелд напечатали статью в газете, где впервые описали систему самодостаточности (СС), которая является одним из природных механизмов. Многие исследования тогда были сконцентрированы вокруг крупномасштабных естественных или социальных систем. CC стала сильным претендентом на объяснение множества естественных явлений, включая землетрясения, солнечные всплески, колебания в экономических системах, формирование ландшафта, лесные пожары, оползни, эпидемии и биологическую эволюцию . Учитывая нестабильное и безмасштабное распределение случаев возникновения, странно, что некоторые исследователи предложили рассмотреть как пример CC возникновение войн. Эти «прикладные» исследования включали в себя две попытки моделирования: разработка новых моделей и приспособление существующих к данной естественной системе.

В тот же самый год Джеймс Глеик издал работу «Хаос: создание новой науки», которая стала бестселлером и представила широкой публике общие принципы теории хаоса и её хронологию. Теория хаоса прогрессивно развивалась как межпредметная и университетская дисциплина, главным образом под названием «анализ нелинейных систем». Опираясь на концепцию Томаса Куна о парадигме сдвига, много «учёных-хаотиков» (так они сами назвали себя) утверждали, что эта новая теория и есть пример сдвига.

Доступность более дешевых, более мощных компьютеров расширяет возможности применения теории хаоса. В настоящее время, теория хаоса продолжает быть очень активной областью исследований, вовлекая много разных дисциплин (математика, топология , физика, биология, метеорология, астрофизика, теория информации, и т.д.).

Применение

Теория хаоса применяется во многих научных дисциплинах: математика, биология, информатика, экономика, инженерия, финансы, философия, физика, политика, психология и робототехника. В лаборатории хаотическое поведение можно наблюдать в разных системах, например электрические схемы , лазеры, химические реакции, динамика жидкостей и магнитно-механических устройств. В природе хаотическое поведение наблюдается в движении спутников солнечной системы , эволюции магнитного поля астрономических тел, приросте населения в экологии, динамике потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях . Есть сомнения о существовании динамики хаоса в тектонике плит и в экономике.

Одно из самых успешных применений теории хаоса было в экологии, когда динамические системы похожие на модель Рикера использовались, чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности. В настоящее время теория хаоса также применяется в медицине при изучении эпилепсии для предсказаний приступов, учитывая первоначальное состояние организма. Похожая область физики, названная квантовой теорией хаоса, исследует связь между хаосом и квантовой механикой . Недавно появилась новая область, названная хаосом относительности, чтобы описать системы, которые развиваются по законам общей теории относительности .

Различия между случайными и хаотическими данными

Только по исходным данным трудно сказать, каким является наблюдаемый процесс - случайным или хаотическим, потому что практически не существует явного чистого "сигнала" отличия. Всегда будут некоторые помехи, даже если их округлять или не учитывать. Это значит, что любая система, даже если она детерминированная, будет содержать немного случайностей. Чтобы отличить детерминированный процесс от стохастического, нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному и тому же пути от данной отправной точки. Таким образом, чтобы проверить процесс на детерминизм необходимо:

1. выбрать тестируемое состояние;
2. найти несколько подобных или почти подобных состояний; и
3. сравнить их развитие во времени.

Погрешность определяется как различие между изменениями в тестируемом и подобном состояниях. Детерминированная система будет иметь очень маленькую погрешность (устойчивый, постоянный результат) или она будет увеличиваться по экспоненте со временем (хаос). Стохастическая система будет иметь беспорядочно распределенную погрешность.

По существу все методы определения детерминизма основываются на обнаружении состояний, самых близких к данному тестируемому (то есть, измерению корреляции , экспоненты Ляпунова, и т.д.). Чтобы определить состояние системы обычно полагаются на пространственные методы определения стадии развития. Исследователь выбирает диапазон измерения и исследует развитие погрешности между двумя близлежащими состояниями. Если она выглядит случайной, тогда нужно увеличить диапазон, чтобы получить детерминированную погрешность. Кажется, что это сделать просто, но на деле это не так. Во-первых, сложность состоит в том, что, при увеличении диапазона измерения, поиск близлежащего состояния требует намного большего количества времени для вычислений чтобы найти подходящего претендента. Если диапазон измерения выбран слишком маленьким, то детерминированные данные могут выглядеть случайными, но если диапазон слишком большой, то этого не случится - метод будет работать.