Степенные выражения (выражения со степенями) и их преобразование. Внеклассный урок - Логарифмы. Логарифм. Потенцирование. Логарифмирование
Цель :научиться преобразовывать алгебраические выражения с помощью логарифмирования и потенцирования.
Место проведения : учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Средства обучения :
Виды самостоятельной работы :
Логарифмирование алгебраического выражения с целью выражения данного логарифма через другие логарифмы по тому же самому основанию;
Логарифмирование выражения по данному основанию;
Нахождение числа по данному его логарифму;
Решение уравнения.
Краткая теоретическая справка
Если некоторое выражение A составлено из положительных чисел x , y , z c помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить через логарифмы чисел x , y , z . Такое преобразование называют логарифмированием .
Пример 1. Известно, что положительные числа x , y , z, t а чисел y , z, t .
Решение: 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя:
2) Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей: .
3) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: ; .
4) В итоге получаем:
Преобразование, заключающееся в нахождении выражения, логарифм которого представлен через логарифмы некоторых чисел, называют потенцированием .
При выполнении данного преобразования используется следующее утверждение.
Теорема . Равенство, где справедливо тогда и только тогда, когда.
Пример 2. Известно, что. Выразить x через y , z, t .
Решение: Согласно свойству логарифма степени имеем:
Итак, и, следовательно, .
Практические задания для аудиторной работы
x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .
2. Прологарифмируйте по основанию 3:
3. Найдите число х по данному его логарифму:
4. Решите уравнение:
Практические задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Известно, что положительные числа y , a ,b связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию c чисел a и b .
3. Найдите число х по данному его логарифму:
4. Решите уравнение:
Вариант 2
1. Известно, что положительные числа x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .
3. Найдите число х по данному его логарифму:
4. Решите уравнение:
Вариант 3
1. Известно, что положительные числа y , a ,b связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию с чисел a и b .
2. Прологарифмируйте по основанию 2:
3. Найдите число х по данному его логарифму:
4. Решите уравнение:
Вариант 4
1. Известно, что положительные числа x , a ,b и с связаны соотношением. Выразить через логарифмы по основанию n чисел a, b, с .
2. Прологарифмируйте по основанию 5:
3. Найдите число х по данному его логарифму:
4. Решите уравнение:
Требования к отчёту:
1. После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания.
2. Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащей:
Порядковый номер и наименование практической работы;
Цель практической работы;
Ход выполнения работы;
Ответы на контрольные вопросы;
Вывод о выполненном задании.
1. Что называют логарифмом числа?
2. Что называют логарифмированием выражения?
3. Какое преобразование называют потенцированием?
4. Какое утверждение используется при потенцировании?
5. Как можно преобразовать сумму двух логарифмов по одному и тому же основанию?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки вы приобрели на этом занятии.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Пояснительная записка перечень практических работ практические работы действия с рациональными числами
Практическая работа действия с рациональными числами место проведения учебная аудитория.. практическая работа решение рациональных.. практическая работа решение рациональных уравнений неравенств систем уравнений и..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Пояснительная записка
Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной дисциплиной, обеспечивающей общеобразовательный уровень подготовки специалиста.
Методические рекомендации по проведению
Перечень практических работ
№
п/п
Наименование практической работы (тема)
Количество аудиторных работ
Действия с рациональными числами
Цель:повторить решение арифметических примеров на все действия с рациональными числами.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств первой степени
Решение рациональных уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств второй степени
Цель:обобщить и закрепить ранее пройденный материал по решению рациональных уравнений, неравенств и их систем.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электром
Практические приёмы приближённых вычислений
Цель:научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности приближений, находить границы погрешностей; выполнять действия над приближенными числами с учетом и без учета границ погрешнос
Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени с рациональными показателями
Цель:научиться применять свойства степени для преобразования степенных выражений.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических
выражений, содержащих корни n-ой степени ()
Цель:научиться выполнять преобразования и находить значения выражений, содержащих корни n-й степени.
Преобразование и вычисление числовых значений алгебраических выражений, содержащих степени и корни
Цель:научиться применять свойства степени и корня для преобразования алгебраических выражений.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техн
Вычисление логарифма числа
Цель:научиться находить логарифм числа, применять свойства логарифмов для преобразования алгебраических выражений.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский элек
С произвольным основанием
Цель:научиться вычислять логарифмы чисел с произвольным основанием через десятичные и натуральные логарифмы с помощью специальных таблиц логарифмов или микрокалькуляторов.
Место
Уравнения
Цель:научиться выполнять преобразования показательных и логарифмических выражений, решать простейшие показательные и логарифмические уравнения.
Место проведения: учебная ауди
Единичной числовой окружности
Цель:научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью единичной числовой окружности.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханичес
Практические приёмы вычисления значений синуса, косинуса и тангенса произвольного числового аргумента
Цель:приобрести практические навыки вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного числового аргумента с помощью четырехзначных математических таблиц В.М. Брадиса
С использованием основных тригонометрических тождеств
Цель:научиться выполнять преобразования тригонометрических выражений с применением основных тригонометрических тождеств.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курски
Формул сложения и формул двойного аргумента
Цель:научиться выполнять преобразования тригонометрических выражений с применением формул сложения и формул двойного аргумента.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО
Основные методы решения тригонометрических уравнений
Цель:научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, тригонометрические уравнения путем введения новой переменной и разложения на множители, однородные тригонометрические уравнения
Нахождение области определения функции. Вычисление значения функции в заданной точке. Построение графиков функций
Цель:научиться находить область определения функций, заданных аналитически; вычислять значения функций и выполнять построения графиков функций.
Место проведения: учебная ауди
Степенные функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики степенных функций, описывать их свойства, решать уравнения и неравенства функционально-графическим методом.
Место проведения: учебная аудитория
Показательные функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики показательных функций, описывать их свойства; решать показательные уравнения и неравенства функционально-графическим методом.
Место проведения:
Логарифмические функции, их свойства и графики
Цель:научиться строить графики логарифмических функций, описывать их свойства, решать показательные уравнения функционально-графическим методом.
Место проведения: учебная ауд
Их свойства и графики
Цель: научиться строить графики тригонометрических функций y=sin x и y= cos x, описывать их свойства, решать уравнения функционально-графическим методом.
Место пров
Тригонометрические функции y=tgx, y=ctgx, их свойства и графики
Цель: научиться строить графики тригонометрических функций y=tg x и y= ctg x, описывать их свойства, решать уравнения функционально-графическим методом.
Место прове
Систем уравнений
Цель: научиться решать иррациональные уравнения и неравенства, системы иррациональных уравнений.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический те
Основные приёмы решения показательных уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств
Цель: научиться решать показательные уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техни
Основные приёмы решения логарифмических уравнений и неравенств, систем уравнений и неравенств
Цель: научиться решать логарифмические уравнения и неравенства, системы уравнений и неравенств.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический тех
Неравенств, систем уравнений
Цель: научиться решать тригонометрические уравнения и неравенства, системы уравнений.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Решение неравенств методом интервалов
Цель: научиться решать неравенства методом интервалов.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум».
Средства обуч
Геометрическая интерпретация множества решений
Цель: научиться решать уравнения, неравенства, их системы с двумя переменными, геометрически изображать их решение.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский эле
Решение задач прикладного характера, сводящихся к составлению уравнений, неравенств и их систем
Цель: научиться решать задачи, сводящиеся к составлению уравнений, неравенств и их систем.
Место проведения: учебная аудитория, ОБОУ СПО «Курский электромеханический техникум
Критерии оценок практических работ
Отметка
Качество выполнения практических заданий
Задания выполнены полностью и правильно: правильно выбран способ решени
Перечень литературы
Основная литература:
1. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. Кн. 1. – М.: «Издательство Новая Волна», 2004.
2. Колягин Ю
Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b .
Говоря иначе, логарифмирование – это действие, обратное возведению в степень.
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.
Примеры десятичного логарифма:
Десятичный логарифм обозначают символом lg. Таким образом:
вместо log 10 100 следует писать lg 100;
вместо log 10 5 пишем lg 5;
вместо log 10 0,01 пишем lg 0,01.
Логарифмирование и потенцирование.
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
b
Пример
: Найдем логарифм x = a 2 · - .
c
Решение .
Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
b
lg x
= lg (a
2 · -) = lg a
2 + lg b
– lg c
= 2lg a
+ lg b
– lg c
.
c
Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).
Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
Например, надо решить уравнение log 2 3x = log 2 9.
Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2). Подробнее о потенцировании и его правилах – в следующем разделе.
«Основные свойства логарифмов» - Тождество. Подбрасывание кубика. Логарифмическая шкала и её применение. Основные понятия теории вероятности. Основное свойство логарифма Непера. Фракталы и размерность. Логарифмическая шкала. Психология и физиология. Логарифм. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства логарифмов.
«Натуральный логарифм» - Логарифм по основанию е называется натуральным логарифмом. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y=0, x=1, x=e и гиперболой. Функция вида y=lnx, свойства и график. Десятичные логарифмы для наших потребностей являются весьма удобными. Натуральные логарифмы. «Логарифмический дартс». Составить уравнение касательной к графику функции y=lnx в точке x=e.
«Урок Логарифмы» - Достигли ли вы поставленной цели? Ход урока. Таблица ответов: Большему числу соответствует больший логарифм. Таблица кодов: Логарифмическая диковинка. Общее решение. Компьютерная самостоятельная работа. Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени. Дайте определение логарифма. Электронный тест.
«Выражения с логарифмами» - Удовлетворяет всем условиям системы. Астрономы. Определение логарифма. Громкость шума. Звезды, шум и логарифмы. Громкость. Шум и звезды. Всё о логарифмах. Построение графиков. Основные методы решения уравнений. Методы решения неравенств. Функция. Логарифмы на ЕГЭ. Мини-экзамен. Решите неравенство. Музыка и логарифмы.
«Логарифмические функции» - Свойства логарифмов. Логарифмическая функция. Понятие логарифма. В зависимости от значения основания приняты два обозначения. Решение логарифмических уравнений. Логарифм степени. Графики логарифмических функций. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей. Свойства натуральных логарифмов.
«Свойства логарифмов» - 5. Почему не имеют смысла выражения log15 ; log-381 ? Основное логарифмическое тождество. 3. Сформулируйте основные свойства логарифмов и вычислите: log618 + log62 ; log553 ; log318 – log32 ; log2 lg4 + lg25 ; Если a>0 и a ?1, х > 0, у > 0, р? R, то: Иоганн Генрих Песталоцци. Счет и вычисления – основа порядка в голове.
Всего в теме 14 презентаций
| № | Правила логарифмирования | Правила потенцирования |
| 1. | ||
| 2. |  |  |
| 3. |  |  |
| 4. |  |  |
| 5. |  |  |
| 6. |  |  |
Логарифмическая функция
Функция вида у = , где, а - заданное число, а> 0, а ≠ 0, называется логарифмической .
или
Вспомнили и повторили теорию! А теперь немного отступления.
Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».
«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И рассмотрим приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники. Поистине, безграничны приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трех столетий прошли с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером . Они помогали астрономам и инженерам. Сокращая время на вычисления, и тем самым. Как сказал знаменитый французский ученый Лаплас: «Удлиняя жизнь вычислителям».
Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане, изобретенная через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером. Она позволяла быстро получать ответ, с инженерного обихода вытеснила микрокалькулятор, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.
Звезды, шум и логарифмы.
Этот заголовок связывает столь, казалось бы, несоединимые вещи. Шум и звезды объединяются здесь потому, что громкость шума и яркость звезд оценивается одинаковым образом – по логарифмической шкале. Астрономы делят звезды по степени яркости на видимые и абсолютные звездные величины – звезды первой величины, второй, третьей и т.д. Последовательность видимых звездных величин, воспринимаемых глазом, представляет собой арифметическую прогрессию. Но физическая по иному закону: яркости звезд составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 2,5. Легко понять, что “величина” звезды представляет собой логарифм ее физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Аналогично оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Единицей громкости звука служит “бел”, но практически используется единица громкости, равные его десятой доле, - так называемый “децибелы”. Последовательные степени громкости 1 бел, 2 бела, 3 бела, и т.д. Составляют арифметическую прогрессию… Физические же величины, характеризующие шумы (энергия, интенсивность звука и др.), составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 10. Громкость, выраженная в белах, равна десятичному логарифму соответствующей физической величины.
Логарифмы и ощущения
Ощущения, воспринимаемые органами чувств человека, могут вызываться раздражениями, отличающимися друг от друга во много миллионов и даже миллиардов раз. Удары молота о скользкую плиту в сто раз громче, чем тихий шелест листьев, а яркость вольтовой дуги в триллионы раз превосходит яркость какой-нибудь слабо звезды, едва видимой на ночном небе. Но никакие физиологические процессы не позволяют дать такого диапазона ощущений. Опыты показали, что организм как бы “логарифмирует” полученные им раздражения, т.е. величина ощущения приблизительно пропорциональна десятичному логарифму величины раздражения. Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
Логарифмическая спираль.
Так как это уравнение связано с логарифмической функцией, то вычисленную по этой формуле спираль называют логарифмической. Живые существа обычно растут, сохраняя общее очертание своей формы. При этом они растут всего во всех направлениях – взрослое существо и выше и толще детеныша. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершать лишь по логарифмической спирали или ее некоторым пространственным аналогам. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, а также рога таких млекопитающих, как архары (горный козел), закручены по логарифмической спирали. Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения форм роста. Великий немецкий поэт Иоганн Вольфгант Гете считал ее даже математическим символом жизни и духовного развития. Очертания, выраженные логарифмической спиралью, имеют не только раковины, в нити вокруг центра по логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности, Галактика, которой принадлежит Солнечная система.
Подумайте и ответьте!
В связи, с чем возникла необходимость в логарифмах?
Что нового вы узнали о логарифмах и их приложениях?
Кого из ученых, внесших вклад в развитие логарифмов, вы запомнили?
Что надо учитывать, решая различные задания с логарифмами?
| 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; | 8) ;
9) ;
10)  ;
11) ;
12) ;
13) ;
14) .
|
1. Математика. Базовый курс / Гусев и др. – СПО. Москва, 2010. – Глава 10, 79-89. ил.
2. Математика: Учебник / Под ред. Н. В. Макаровой. – М.: для техникумов, 2009. –768с.
Урок 19
ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ И ПОТЕНЦИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ
Цели :
дидактическая :
повторение, систематизация и обобщение знаний;
закрепление умений решать практические задачи по теме;
воспитательная :
воспитывать самостоятельность формирования умозаключений; воспитывать общие компетенции - работать в коллективе и в команде;
развивающая :
развитие логического мышления алгоритмической культуры;
развитие умения доказывать свои умозаключения, анализировать ответы друг друга;
продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию.
Тип урока : комбинированный урок
Методическое обеспечение : учебники, план-конспект урока, карточки.
Ход урока:
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие обучающихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока.
2. Повторение ранее изученного материала
3. Изучение нового материала
ПОВТОРЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА
1. Проверка домашнего задания, работа у доски над затруднительными моментами.
2. Дайте определение понятию логарифм.
Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
3. Приведите пример записи логарифма. Что означает эта запись?
3. Для того, чтобы проверить уровень усвоения материала, предлагается решить некоторые задания. На доске таблица, которую необходимо заполнить, указав решение примера и номер свойства из ранее записанного конспекта урока.
Пример
Решение. Ответ
Номер свойства
5, 1
ИЗУЧЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.
Пример : Найдем логарифм
Решение .
Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.
Необходимо четко различать сумму логарифмов lga + lgb и логарифм суммы lg ( a + b ) . Сумма логарифмов равна логарифму произведения, а для логарифма суммы формулы нет.
Пример . Дано, где a >0, b >0, c >0. Найти lg x .
Решение . Логарифмируя, получим:
Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.
Потенцировать – значит освобождаться от знаков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.
При решении уравнений потенцированием выражения преобразовывают с помощью свойств логарифмов, приводя их к виду
либо к виду
Например , надо решить уравнение log 2 3x = log 2 9.
Убираем знаки логарифмов – то есть потенцируем:
3х = 9.
В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:
х = 9: 3 = 3.
Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это основание 2).
Потенциирование применяется при решении логарифмических уравнений, с которыми мы познакомимся на следующем занятии.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Группа разбивается на подгруппы по два-три человека. Каждая подгруппа составляет один пример для логарифмирования, передает его соседней подгруппе для решения. После чего подгруппы решают пример и передают его следующей подгруппе для решения. В итоге каждая подгруппа должна выставить оценку своим одногруппникам, решившим составленное выражение.
ДОМАШНЯЯ РАБОТА
Прологорифмируйте выражение по основанию 10 при условии, что все переменные положительные:
Выполните потенцирование выражения:
